Вопрос 3. Оценки параметров распределения

Будем считать, что первый этап исследования наблюдаемого признака генеральной совокупности (формирование статистического ряда и построение его графического изображения) осуществлен.

Следующий этап – это получение числовых характеристик статистического распределения.

Оценками параметров распределения наблюдаемого признака являются числовые характеристики выборочной совокупности (выборочные числовые характеристики).

Выборочные числовые характеристики можно разбить на две группы:

1) описывающие центр распределения:

- выборочное среднее,

- мода,

- медиана;

2) характеризующие степень рассеивания вариант вокруг своего среднего значения:

- дисперсия,

- среднее квадратическое отклонение (СКО).

Рассмотрим оценки параметров распределения, характеризующие центр распределения (первую из представленных групп).

Выборочное среднее – это среднее арифметическое всех элементов выборки.

Исходя из определения, выборочное среднее вычисляется по формулам:

для вариационного ряда:

;

для статистического ряда:

, (2),

где х_i – i -тая варианта;

m_i – соответствующая частота;

n – объем выборки.

Пример 3.1. Для условий примера 2.1 вычислить среднее число пропусков занятий, приходящееся на одного курсанта.

Решение. В соответствии с формулой (2), получим:

(занятия).

Следующий параметр распределения – мода.

Ее оценку используют в случаях, когда нужно ответить, например, на вопрос:

- какой товар имеет наибольший спрос;

- каковы преобладающие в данный момент уровни производительности труда, заработной платы и т.д.

- какой возраст наиболее криминальный по тем или иным видам преступлений (ответ позволяет правильно организовать профилактическую работу с населением).

Модой называют значение признака, которое наблюдалось наибольшее число раз.

Нахождение моды для статистического распределения не требует каких-либо вычислений, так как ею является варианта, которой соответствует максимальная частота («пик» полигона распределения).

Пример 3.2. Для условий примера 2.1 определить моду числа пропусков занятий по математике.

Решение.

Из полигона распределения (рис. 1) следует, что наблюдаемый признак Х – число пропусков занятий – имеет моду .

Медианой называют значение признака, приходящееся на середину вариационного ряда.

Таким образом, медиана делит вариационный ряд на две части, равные по числу значений признака.

Нахождение медианы для вариационного ряда

1. Если число вариант вариационного ряда нечетно, то есть объем выборки , то медиана равна значению, расположенному в середине ряда:

, (3)

где .

2. Если объем выборки n – четное число, то есть , то медиана равна среднему арифметическому двух значений, расположенных в середине вариационного ряда:

, (4)

где .

Пример 3.3. Для условий примера 2.1 определить медиану числа пропусков занятий по математике.

Решение.

Объем выборки – число нечетное: , следовательно,

.

Таким образом, медиана .

Обратимся теперь к оценкам параметров распределения, характеризующим степень рассеивания вариант вокруг своего среднего значения. Это дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Смысл этих характеристик проиллюстрируем примерами.

1. Средний балл оценок на экзамене недостаточно полно характеризует уровень подготовленности группы курсантов. Важен и разброс этих оценок.

2. В промышленном производстве отклонения размеров и формы деталей от стандартов, так называемые «допуски», являются вполне определенными величинами, допускающими возможность сборки изделия и обеспечивающими его качество.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений результатов наблюдений от их выборочного среднего.

Таким образом, для вариационного ряда:

для статистического ряда:

, (3)

где х_i – варианта;

m_i – соответствующая частота;

– выборочное среднее.

Вместо выборочной дисперсии часто используют среднее квадратическое отклонение, равное корню квадратному из дисперсии и имеющее ту же размерность, что и значения признака:

.

Пример 3.3. Для статистического ряда из примера 2.1 вычислить выборочную дисперсию и среднее квадратическое.

Решение. Среднее арифметическое числа пропущенных занятий уже вычислено (см. пример 3.1): =2,2. Поэтому, в соответствии с формулой (3), получим:

;

Заключительная часть (В заключительной части подводится краткий итог лекции и даются рекомендации по самостоятельной работе для углубления, расширения и практического применения знаний по данной теме)

Материал лекции был посвящен изучению основных положений математической статистики. Рассмотрены понятия генеральной и выборочной совокупностей; изучены методика определения статистического распределения выборки и правила вычисления оценок параметров распределения.

Практическое занятие по данной теме будет посвящено решению задач математической обработки результатов измерений.

В конце занятия преподаватель отвечает на вопросы по материалу лекции и объявляет задание на самоподготовку:

1. Изучить конспект лекции и рекомендуемую литературу.

2. Изучить вопрос «Проверка статистических гипотез».

2. Доработать (дополнить) конспект лекции.

Разработал:

профессор кафедры

доктор военных наук, кандидат технических наук, профессор Сугак В.П.

12.11.2012 г.

Лист регистрации изменений

Номер изменения	Номера листов	Основание для внесения изменений	Подпись	Расшифровка подписи	Дата	Дата введения изменения
замененных	новых	аннулиро­ванных

Дата добавления: 2014-01-06