Точечные оценки параметров

Выведем приближенные формулы числовых характеристик случайной величины, математического ожидания и дисперсии.

Для математического ожидания случайной величины, для которой были зарегистрированы значения , принято брать значение

(1)

Число называется эмпирическим (выборочным) математическим ожиданием или средним по выборке.

Для дисперсии в качестве приближенного значения принято брать

(2)

Число называется эмпирической (выборочной) дисперсией.

Если приближенное значение естественно, то в равенстве удивляет множитель вместо . Это будет ясно из дальнейших рассуждений. Эти приближенные равенства называются точечными оценками параметров и рассматриваемой случайной. Наблюдаемые экспериментальные значения случайно величины сами также являются случайными. Эти случайные величины могут принимать те же значения, что и и также распределены. Поэтому и для . Такой взгляд на получение из эксперимента значения как на случайной величины позволяют сформулировать требования к точечным оценкам. Точечные оценки параметров должны обладать тремя свойствами: несмещенностью, состоятельностью и эффективностью.

1. Несмещенность точечных оценок для математического ожидания и дисперсии означает, что (3)

(4)

2. Самостоятельность точечных оценок для математического ожидания и дисперсии означает, что для любого положительного выполнены равенства

(5)

(6)

Наглядное представление о состоятельности оценок для математического ожидания и дисперсии состоит в том, что формулы (1) и (2) позволяет подсчитать и с любой точностью и надежностью.

3.Эффективность точечных оценок для и означает, что и минимальны.Это означает, что для любой другой точечной оценки математического ожидания и - дисперсии выполняется равенство: .

Пример. Контрольные обмеры диаметров болтов дали следующие результаты: 2,31; 2,28; 2,29; 2,28; 2,32; 2,28; 2,32; 2,29; 2,31; 2,32.

Найти точечные оценки для диаметра болта и его дисперсии в контролируемом процессе производства.

.

Дата добавления: 2014-01-06