Однородные уравнения

Найдем фундаментальную систему уравнения, правая часть которого равна нулю. Обозначим его - (2). Частное решение ищем в виде , где - постоянная. Подставляя в (2) , получим

.

Так как то будет решением уравнения (2), если будет корнем характеристического уравнения

Рассмотрим вопрос отыскания фундаментальной системы для .

(3)

Характеристическое уравнение имеет вид

(4)

Возможны следующие случаи:

1) . Тогда - действительные корни (4). Частные решения и образуют фундаментальную систему так как

так как

Общее решение уравнения (3)

2) . Корни комплексные, сопряжённые: . Частные решения: .

Из и . Следовательно фундаментальная система а общее решение .

3) . Тогда . Получим только одно решение . Найдем 2-е решение, независимое от . Решение ищем в виде .

Фундаментальная система: , . Общее решение

Следовательно, для решения уравнения (2) необходимо:

1) Составить и решить характеристическое уравнение.

2) Найти фундаментальную систему решений:

а) Каждому однократному действительному корню соответствует частное решение .

Б) Каждой паре однократных комплексных корней соответствуют два частных решения:

в) Каждому - кратному действительному корню соответствует частных решений:

.

Г) Каждой паре -кратных корней соответствуют решений:

Количество частных решений ровно и они образуют фундаментальную систему.

Записать общее решение .

Пример 1. Найти общее решение уравнений.

А) .

1. Составим и решим характеристическое уравнение

.

2.Найдем фундаментальную систему .

- двукратный корень:

.

3. Общее решение

б)

1. - двукратный корень.

2. .

3. .

Дата добавления: 2014-01-06