Частные приращения и частные производные

В отличие от функций одной переменной, функций нескольких переменных имеют различные виды приращений. Это связано с тем, что перемещения в плоскости из точки можно осуществлять по различным направлениям.

Определение. Частным приращением по функции в точке соответствующим приращению называется разность

.

Это приращение по существу является приращением функции одной переменной полученной из функции при постоянном значении .

Аналогично частным приращением по в точке функции соответствующим приращению называется разность

.

Это приращение вычисляется при фиксированном значении .

Пример. Пусть , , . Найдем частные приращения этой функции по и по

.

В данном примере при равных значениях приращений аргументов и , частные приращения функции оказались различными. Это связано с тем, что площадь прямоугольника со сторонами и при увеличении стороны на увеличивается на величину , а при увеличении стороны на увеличивается на (см.рис.4).

Рис.4.

Из того факта, что функция двух переменных имеет два вида приращений, следует, что для нее можно определить два вида производных.

Определение. Частной производной по функции в точке называется предел отношения частного приращения по этой функции в указанной точке к приращению аргумента т.е.

. (1)

Такие частные производные обозначаются символами , , , . В последних случаях круглая буква “” – “” означает слово “частная”.

Аналогично, частная производная по в точке определяется с помощью предела

. (2)

Другие обозначения этой частной производной: , , .

Частные производные функций находятся по известным правилам дифференцирования функции одной переменной, при этом все переменные, кроме той, по которой дифференцируется функция, считаются постоянными. Так при нахождении переменная принимается за постоянную, а при нахождении - постоянная .

Пример. Найдем частные производные функции .

, .

Пример. Найдем частные производные функции трех переменных

.

; ; .

Частные производные функции характеризуют скорости изменения этой функции в случае, когда одна из переменных фиксируется.

Пример по экономики.

Основным понятием теории потребления является функция полезности . Эта функция выражает меру полезности набора , где х- количество товара Х, у - количество товара У. Тогда частные производные будут соответственно называться предельными полезностями х и у. Предельная норма замещенияодного товара другим равна отношению их предельных полезностей:

. (8)

Задача 1. Найти предельную норму замещения ч на у для функции полезности в точке А(3,12).

Решение: по формуле (8) получаем

Экономический смысл предельной нормы замещения заключается в обосновании формулы , где -цена товара Х, - цена товара У.

Определение. Если у функции имеются частные производные, то ее частными дифференциалами называются выражения

и

здесь и .

Частные дифференциалы являются дифференциалами функций одной переменной полученных из функции двух переменных при фиксированных или .

Примеры из экономики. Рассмотрим в качестве примера функцию Кобба-Дугласа.

Величина - средняя производительность труда, так как это количество продукции (в стоимостном выражении), произведенное одним рабочим.

Величина - средняя фондоотдача- количество продукции, приходящееся на один станок.

Величина - средняя фондовооруженность- стоимость фондов, приходящееся на единицу трудовых ресурсов.

Поэтому частная производная называется предельной производительностью труда, так как она равна добавочной стоимости продукции, произведенной еще одним дополнительным рабочим.

Аналогично, - предельная фондоотдача.

В экономике часто задают вопросы: на сколько процентов изменится выпуск продукции, если число рабочих увеличить на 1% или если фонды возрастут на 1%? Ответы на такие вопросы дают понятия эластичности функции по аргументу или относительная производная. Найдем эластичность выпуска продукции по труду . Подставляя в числитель вычисленную выше частную производную , получим . Итак, параметр имеет ясный экономический смысл – это эластичность выпуска по труду.

Аналогичный смысл имеет и параметр - это эластичность выпуска по фондам.

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление, М.:Наука, 1988г.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.1,2 М.:Наука, 1985г.

3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1,2, М.: Высшая школа, 1981г.

4. Бронштейн И.Н.,Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров.М.: Высшая школа,1997.

5. ИДЗ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Под редакцией Рябушко А.П., ч.1,2 Минск, «ВШ», 2002г.

Дата добавления: 2014-01-06