Аналітичні методи

Використання математичних методів у дослідженнях

Рішення практичних задач математичними методами послідовно здійснюється шляхом математичного формулювання задачі (розробки математичної моделі), вибору методу проведення дослідження отриманої математичної моделі, аналізу отриманого математичного результату.

Математичне формулювання задачі звичайно, представляється у виді чисел, геометричних образів, функцій, систем рівнянь і т.п. Опис об'єкта (явища) може бути представлений за допомогою безперервних або дискретних, детермінованих або стохастичних й інших математичних форм.

Математична модель являє собою систему математичних співвідношень — формул, функцій, рівнянь, систем рівнянь, що описують ті або інші сторони досліджуваного об'єкта, явища, процесу.

Першим етапом математичного моделювання є постановка задачі, визначення об'єкта й цілей дослідження, завдання критеріїв (ознак) вивчення об'єктів і керування ними. Неправильна або неповна постановка задачі може звести нанівець результати всіх наступних етапів.

Другим етапом рішення практичних задач є вибір методу дослідження моделі. Вибір методу дослідження математичної моделі безпосередньо зв'язаний з такими поняттями, як зовнішня й внутрішня правдоподібність дослідження.

Під зовнішньою правдоподібністю дослідження розуміється очікуваний ступінь адекватності математичної моделі реальному об'єктові по цікавлячого дослідника властивостям.

Під внутрішньою правдоподібністю дослідження розуміється очікуваний ступінь точності рішення отриманих рівнянь, що прийняті за математичну модель об'єкта.

Якщо вид моделі вже обраний, то зовнішня правдоподібність моделі вважається фіксованим і вибір методу дослідження буде цілком визначатися необхідним ступенем внутрішньої правдоподібності.

У переважній більшості випадків при виборі методу дослідження керуються принципом відповідності зовнішньої й внутрішньої правдоподібності, аналогічним відомому правилу наближених обчислень: ступінь точності обчислень повинна відповідати ступеню точності вихідних даних. Однак у залежності від умов і задач дослідження можливі відхилення від принципу. Перелічимо деякі з них:

1) якщо мова йде про розробку нового єдиного методу досліджень, що передбачається застосовувати до широкого, заздалегідь не фіксованому, класові моделей, те потрібно прагнути до максимальної внутрішньої правдоподібності дослідження незалежно від рівня зовнішньої правдоподібності;

2) якщо здійснюється перевірка зовнішньої правдоподібності моделі, то внутрішня правдоподібність обраного методу перевірки повинне бути максимальним;

3) якщо модель настільки проста, що для неї легко одержати точне рішення, те штучно знижувати строгість рішення безглуздо.

В інших випадках перевага віддається «принципові рівної правдоподібності».

Вибір методу дослідження тим ефективніше, чим більше мається зведень про кінцеве рішення задачі. Такі зведення можуть бути отримані шляхом прикидочних досліджень моделі або її елементів.

У процесі прикидочних досліджень здійснюється порівняння величин окремих членів рівнянь у досліджуваному діапазоні зміни перемінних і параметрів задачі. Відносно малі доданки відкидаються, нелінійні залежності заміняються на лінійні. Деякі з компонентів моделі апроксимуються грубими рівняннями. Усе це дозволяє швидко одержати грубе рішення задачі.

Вибір методу дослідження математичної моделі багато в чому визначений її видом.

Статичні системи, представлені за допомогою алгебраїчних рівнянь, досліджуються за допомогою визначників, методу ітерацій, методів Крамера і Гауса. У випадку утруднень з аналітичними рішеннями використовуються наближені методи: графічний метод - метод хорд; метод дотичних; метод ітерацій. В останньому випадку, що вимагає контролю точності (числа значущих цифр) у залежності від брутальності обчислювального методу, доцільне застосування ЕОМ.

Дослідження динамічних режимів функціонування об'єкта, представлених у класі диференціальних рівнянь, також визначається класом, до якого відноситься розв'язуване рівняння.

Якщо в результаті рішення алгебраїчних рівнянь виходять числа, то при рішенні диференціальних рівнянь виходять функції.

Для рішення диференціальних рівнянь широко використовуються метод поділу перемінних, метод підстановки, метод інтегруючого множника, метод якісного аналізу і т.п. Для одержання наближених рішень використовують метод послідовних наближень, метод функціональних рядів, метод Рунге - Кута, чисельні методи інтегрування і т.п.

Для докладного вивчення моделей динамічних систем, побудованих у класі диференціальних рівнянь, використовується якісна теорія диференціальних рівнянь.

Якісна теорія диференціальних рівнянь дозволяє вивчити всі можливі рішення — регулярні й особливі.

При дослідженні процесів методами варіаційного вирахування знаходять такі закономірності, при яких їхній розвиток енергетично найбільш ощадливо. Дуже часто вони описуються експонентними функціями, що задовольняють принципам варіаційного вирахування.

Розглянуті аналітичні методи, як правило, дозволяють успішно вирішувати лише відносно прості задачі. У той же час усі чаші виникає необхідність використання складних диференціальних рівнянь або їхніх систем із складними початковими й граничними умовами (часто нелінійними). Їхнє рішення досить складне або невідомо, у цих випадках прибігають до тих або інших наближених обчислень за допомогою чисельних методів.

Крім перерахованих при рішенні управлінських задач широко використовуються: метод простору станів; метод компараментального аналізу; інформаційні методи.

Дата добавления: 2014-01-07