Використання схеми “дерева” рішень для вирішення ЗПР

Оцінка та чутливість результатів вибору. Вплив зміни імовірнісних показників на чутливість рішення.

Використання схеми “дерева” рішень для вирішення ЗПР.

План.

Тема_6: Прийняття багатоступеневих рішень. Вибір та порівняння альтернатив при невизначеності наслідків.

Схему “дерева” рішень використовують, коли необхідно прийняти кілька рішень в умовах невизначеності за умови, що кожне наступне рішення залежить від попереднього, або ж від результатів випробувань.

Дерево рішень відображає структуру проблеми. Зображають дерево зліва направо. Дерево складається з вузлів та гілок.

Гілки означають можливі альтернативні рішення, що можуть бути прийняті і можливі результати, що виникнуть внаслідок цих рішень. Використовують два види гілок:

1) пунктирні лінії, що виходять з квадратів можливих рішень;

2) суцільні лінії, що виходять з кругів можливих результатів.

Квадратні вузли означають точки прийняття рішень, круглі вузли – появу результатів цих рішень. Квадратні вузли нумерують 1, 2, 3,…, а круглі позначають А, В, С … Через те, що ОПР не може впливати на появу результатів, вона обмежується лише обчисленням ймовірностей їх виникнення.

Після того, як усі можливі рішення та ймовірності їх наслідків зображені на дереві, розраховують кожен із варіантів і в кінці проставляють його вартісну оцінку. Усі витрати, пов’язані з рішенням, проставляються на відповідній гілці. Процедуру оцінювання наслідків варіантів рішень та відкидання неоптимальних з них за результатами цих оцінок проводять справа наліво. Оцінка кожного варіанта рішення являє собою математичне сподівання усіх наслідків даного рішення. Після цього отримують послідовність оптимальних рішень для розв’язання поставленої задачі.

Приклад_1. Клієнт звернувся до банку за позикою, розміром 15 тис.у.о. для фінансування свого проекту. Банк може позичити йому гроші під 15% річних, або ж вкласти їх в інвестиційний проект під 9% річних з надійним 100%-вим поверненням суми. Із попереднього досвіду відомо, що 4% клієнтів кредит не повертають. Задача перед банком – позичати гроші клієнту чи вкласти їх в інвестиційний проект.

Цю задачу можна вирішити за допомогою матриці чи «дерева» рішень.

Перший варіант вирішення: за схемою “матриці” рішень.

Варіанти рішень	Можливі результати та їх ймовірності	BL	MM
Клієнт кредит повертає (0,96)	Клієнт кредит не повертає (0,04)
Видавати кредит	15000 + 2250= 17250
Вкласти гроші в інвестицію	15000 + 1350= 16350

Розрахунки за BL-критерієм:

1-й варіант:

17250 · 0,96 + 0·0,04 = 16560

2-й варіант:

16350 · 0,96 + 16350 · 0,04 = 16350

Розрахунки за MM -критерієм:

MIN (17250, 0) = 0

MIN (16350, 16350) = 16350

Висновок. Якщо допустити невеликий ризик, то для отримання максимального прибутку доцільно видати клієнту кредит, на що вказує BL-критерій. При недопущенні жодного ризику доцільно гроші вкласти в інвестицію, дотримуючись рекомендацій, отриманих за MM-критерієм.

Другий варіант вирішення: за схемою “дерева” рішень.

Прибуток в точці А = 17250*0,96 + 0*0,04 = 16560

Чистий прибуток в точці А = 16560 – 15000 = 1560

Прибуток в точці В = 16350*1

Чистий прибуток в точці В = 16350 – 15000 = 1350

Висновок. Підрахунки рекомендують нам видати кредит, але існує невеликий ризик втратити всі гроші.

Приклад_2. Введемо додаткові умови до попередньої задачі:

Банк може перевірити платоспроможність клієнта перед тим, як видавати йому позику. Аудиторська фірма бере по 80 у.о. за кожну перевірку. Тепер банк має вирішити дві задачі:

1) проводити аудиторську перевірку чи ні;

2) видавати після цього позику чи ні.

Для вирішення першої задачі банк перевіряє відповідність інформації, що видається аудиторською фірмою до фактичних результатів. Для цього вибирається 1000 клієнтів, які перевірялись аудиторською фірмою і яким після цього видавався кредит. Ці результати наведено у таблиці.

Таблиця. Результати аудиторської перевірки

Рекомендації аудиторської фірми	Кредит повернули	Кредит не повернули	Усього
Видати кредит
Не видати кредити
Усього

Вирішувати цю задачу доцільно за схемою “дерева” рішень, яке відображає структуру проблеми.

Етапи вирішення задачі:

1) Будуємо дерево та проставляємо ймовірності за даними другого етапу.

2) Використовуючи дані таблиці, обчислюємо ймовірності кожного наслідку:

Р(клієнт позику повертає; фірма рекомендувала) =;

Р(клієнт позику не повертає; фірма рекомендувала) = ;

Р(клієнт позику повертає; фірма не рекомендувала) = ;

Р(клієнт позику не повертає; фірма не рекомендувала) = .

3) Зліва направо проставляємо грошові наслідки кожного із вузлів, використовуючи попередні результати. Після того, як пройдено усі квадрати рішень, вибираємо гілку, що забезпечує максимальний очікуваний дохід.

Рис. Дерево рішень для банку з урахуванням аудиторської перевірки

Обчислюємо прибутки (Е) та чисті прибутки (NE) у вузлах:

Е(B) = 17250*0,98 + 0*0,02 = 16905;

NE(В) = 16905 – 15000 = 1905;

Е(С) = 16350*1 = 16350;

NE(С) = 16350 – 15000 = 1350;

Е(D) = 17250*0,9 + 0*0,1 = 15525;

NE(D) = 15525 – 15000 = 525;

Е(F) = 17250*0,96 + 0*0,4 = 16560;

NE(F) = 16560 – 15000 = 1560;

Е(G) = 16350*1 = 16350;

NE(G) = 16350 – 15000 = 1350;

Е(А) = 1905*0,75 + 1350*0,25 = 1766;

NE(А) = 1766 – 80 = 1686.

Висновок. Доцільно проводити аудиторську перевірку. Якщо фірма рекомендує видавати кредит, то кредит видавати, а якщо не рекомендує, то не видавати, а інвестувати ці гроші під стабільні 9% річних. Тобто, слід прислухатись до висновку аудиторської фірми.

Приклад 3. Фірма, що займається дослідженням ринку, розраховує розширити свою діяльність за рахунок використання ПК для оброблення інформації. Постає питання: придбати комп’ютери чи орендувати. Передбачити зростання масштабів діяльності фірми на найближчі 4 роки неможливо, але можливо розділити його на значний середній та незначний. Імовірність значного зростання масштабу діяльності за 1 рік після установки ПК складає 0,6, середнього – 0,3, незначного – 0,1. В наступні 3 роки зростання може оцінюватися як значне та незначне. Підраховано, що якщо зростання значне за 1-й рік, то імовірність того, що воно залишиться таким самим протягом наступних 3-х років становить 0,75. Середнє зростання 1-го року зміниться на незначне у наступні роки з імовірністю 0,5, а незначне таким самим залишиться з імовірністю 0,9. Чисті прибутки викликані такими змінами наведені в таблиці.

Зростання	Прибуток на кінець року
Значне
Середнє
Незначна

Вартість ПК $35 тис. Умови оренди: перший внесок $15000 плюс 25% від чистого прибутку на кінець року. Компанія розраховує отримувати 12% річного прибутку на вкладений капітал. Прийняти рішення: купувати комп’ютери чи орендувати?

Етапи вирішення задачі:

1) Складаємо дерево рішень

2) Розраховуємо суми прибутків за 1 – 4 роки роботи.

Якщо в кінці року компанія отримує X грн. і розраховує на 12% річний приріст, то тоді сьогоднішнє (поточне) значення X для 2 – 4 роки роботи буде дорівнювати:

Тому у вузлі І, де X – прибуток за рік повинно дорівнювати 20000грн.

Прибуток

(грн.)

(грн.)

3) Використовуючи поточні значення прибутків, обчислюємо математичні сподівання прибутків в точках від С до Н (очікуваний прибуток):

П (С) = (грн.)

На 1-му році величини П(С) відповідають значенню прибутку 20000грн. Поточна величина цієї суми дорівнює:

П (С) = (грн.)

Відповідно, очікувана поточна ціна вузла С за 1-4 роки дорівнює:

П (С) = (грн.)

П (D) = (грн.)

П (Е) = (грн.)

В результаті симетрії очікувані поточні величини прибутків у вузлах F, G та Н будуть відповідно дорівнювати прибуткам у вузлах С, D та Е.

На цьому етапі розрахунку по правій частині закінчені, можна приступити до розрахунків прибутків у вузлах А і В.

4) Для вузлів А і В значення прибутків однакові:

П (А) = П (В) = (грн.)

Чистий очікуваний поточний прибуток у вузлі А, якщо комп’ютери будуть закуплені.

П (А) = [очікування поточна вартість] – [вартість покупки] =

(грн.)

Для розрахунку очікуваної поточної вартості вузла В обчислимо вартість оренди (15000 + 25% річних)

15000 + 25% від 50809 = 15000 + 0.25*50809 = 27702 (грн.)

П (В) = 50809 – 27702 = 23107 (грн.)

Висновок. Порівнюючи оцінки вузлів П (А) та П (В), приймаємо рішення, що доцільно орендувати ПК.

Дата добавления: 2014-01-07