Лекция 15.02.13

Т.е. вероятность попадания точки на часть этого отрезка длины l будет равна l/s. Аналогично понимается смысл выражения «точка поставлена на удачу» на квадрат со стороной единица или в прямоугольник площади единица.

В более сложных случаях может оказаться, что при геометрической интерпретации получится следующая картина: имеется фигура площади s и на неё ставится точка на удачу. Тогда вероятность попадания точки на часть этой фигуры с площадью q будет равна дроби q/s. Аналогично и в пространственном случае. Здесь берётся отношение объёмов.

Такое определение вероятности получило название «Геометрического»

Теорема сложения вероятностей для несовместимых событий

Теорема: Вероятность суммы двух несовместимых событий AиB равна сумме вероятностей этих событий, т.е. P(A+B)=P(A)+P(B)

Доказательство:

Для доказательства используем классическое определение вероятности.

Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равняется n событию А благоприятствует k элементарных событий, событию B благоприятствует l элементарных событий. Т.к. А и В – несовместимые события, то ни одно из элементарных событий U1, U2, … Un не может одновременно благоприятствовать и событию А, и событию В. Следовательно, событию (А+В) будет благоприятствовать k+l элементарных событий. По классическому определению вероятности имеем: Р(А+В)=(k+l)/n, P(A)=k/l,

P(B)=l/n, откуда P(A+B) = (k+l)/n = k/n+l/n = P(A) + P(B). Ч.т.д.

Точно так же эта теорема формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместимых событий.

Следствие: сумма вероятностей противоположных событий А и А(с чертой сверху) равна единице: Р(А)+Р(А_)=1

Доказательство:

Поскольку события А и А_ - несовместимы, то, по доказанной выше теореме имеем: Р(А+А_)=Р(А)+Р(А_). Событие А+А_ - достоверное событие, раз так, то Р(А+А_)=1.

Относительная частота. Статистическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности не является пригодным, также, для изучения произвольных случайных событий. Так, оно не приемлимо, если результаты испытания не равновозможны. Например: при бросании неправильной игральной кости выпадение её различных граней неравновозможно. В таких случаях испульзуется, так называемая, статистическое определение вероятности:

Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие А наступило m раз.

Def: Число m называется «Абсолютной частотой», или просто «Частотой» события А называется, а отношение m/n называется относительной частотой события А.

Обозначается Р*(А) (со звёздочой)

Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить следующее:

При проведении серии из n испытаний, когда число n сравнительно мало, относительная частота Р*(А) принимает значения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n – числа испытаний в сериях, относительная частота приближается к некоторому числу, обозначим его Р(А), стабилизируясь около него, и принимая всё более устойчивые значения.

Пример: было проведено 10 серий броснаия монеты: по 1000 бросаний в каждой серии. Относительные частоты выпадения герба оказались следующими:

1) 0,501

2) 0,485

3) 0,509

4) 0,306

5) 0,485

6) 0,688

7) 0,500

8) 0,497

9) 0,494

10) 0, 484

Эти частоты, как мы видим, группируются около числа 0,5.

Определение (Статистическое определение вероятности): вероятностью события А в данном испытании называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.

В условиях приведённого примера эта вероятность равна 0,5.

Бифон сделал 4040 бросаний. Число выпадений герба оказалось 2048 раз – относительная частота 0,5080.

Пирсон 2 раза бросал монету: 12000 раз и 24000 раз, число выпадений герба получилось 6019, относительная частота 0,5016. Во втором случае 12012, и относительная частота 0,5005.

Таким образом, относительная частота события приближённо совпадает с его вероятностью в статистическом смысле, если число испытаний достаточно велико.

С этой точки зрения, m=n*p представляет собой среднее значение числа появления события А при n испытаниях.

Аксиоматическое определение вероятности.

В современных математических курсах вероятность определяется аксиоматически. При Аксиоматическом определении вероятности исходят из свойств вероятности событий, к которым применимы классическое или статистическое определение вероятности. Отельные свойства вероятности известны из предыдущего изложения. Поэтому, естественно принять следующие аксиомы:

Аксиома 1: Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое его вероятностью.

Аксиома 2: Вероятность достоверного события равна единице

Аксиома 3: Вероятность суммы попарно несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

Третья аксиома называется Аксиомой сложения вероятностей.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем. Большие заслуги в аксиоматическом построении теории вероятностей принадлежат Колмагорову.

Теорема умножения вероятностей

Определение: Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие, или нет. В противном случае, события А и В называются зависимыми.

Пример: пусть в урне находятся 2 белых и 2 чёрных шара. Пусть событие А – вынуть белый шар. Вероятность этого события равна ½. После первого испытания вынутый шар кладётся обратно в урну. Шары перемешиваются, и снова вынимается шар. Событие В – во втором испытании вынуть белый шар. Вероятность этого события тоже равна ½. Т.е. события А и В независимы.

Предположим теперь, что вынутый в первом испытании шар не кладётся обратно в урну. Тогда, если произошло событие А, то есть в первом испытании вынут белый шар, то вероятность событий В уменьшается: Р(В)=1/3. Если же в первом испытании был вынут чёрный шар, то вероятность события В увеличивается: Р(В)=2/3. Таким образом, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А. Т.е. события А и В – зависимы.

Определение: Пусть А и В – зависимые события. Условной вероятностью Ра (В) (а – индекс) события В называется вероятность события В, найденное в предположении, что событие А уже наступило.

В Примере Ра(В)=1/3.

Теорема: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что событие А уже наступило: Р(АВ) = Р(А)*Ра(В)

Доказательство:

Пусть из всего числа n элементарных событий k событий благоприятствуют событию А, и пусть из этих k событий l событий благоприятствуют событию В. Значит, l событий благоприятствуют событию (AB). Тогда, по классическому определению вероятности, Р(АВ)= l/n = k/n*l/k = P(A)*Pа (B). Ч.т.д.

Определение: несколько событий А1, А2, … Аk называются независимыми в совокупности, или просто независимыми, если вероятность появления любого из них не зависит от того, произошли ли какие-либо другие рассматриваемые события или нет.

Замечание: Применим формулу: Р(АВ) = Р(А)*Ра(В) [1]к событию Ва:

Получим: Р(Ва)=Рb(А) [2]

Сравнивая формулы [1] [2] получаем: Р(А)*Ра(В)=Р(В)*Рb(А)

Теорема: вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий.

Отметим, что если события А и В независимы, то условная вероятность равняется обычной вероятности. Поэтому формула [1] превращается в формулу Р(АВ)=Р(А)*Р(В). Ч.т.д.

Теорема о сложении вероятностей совместимых событий

Теорема: Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

Р(А+В)= Р(А)+Р(В) - Р(АВ).

Доказательство:

Пусть из всего числа n элементарных событий k событий благоприятствуют событию А, l событий благоприятствуют событию В, и m событий благоприятствуют одновременно и событию А, и событию В. Тогда событию (А+В) будут благоприятствовать k+l –m элементарных событий, и, значит, будем иметь:

Р(А+В)=(k+l – m)/n = k/n+l/n – m/n = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). Ч.т.д.

Замечание: Если А и В – несовместимые события, то АВ – невозможное событие. И, значит, Р(АВ) = 0, и полученная формула превращается в формулу для несовместимых событий.

Семинар: 15.02.13

Для двух костей:

Сумма очков
Число способов

Для трёх костей:

Сумма очков
Число способов
Сумма очков
Число способов

Сравни возведение в степень 2 полинома: (х+х^2+x^3+x^4+x^5+x^6) = x^2+2x^3+3x^4+4x^5+5x^6+6x^7+5x^8+4x^9+3x^10+2x^11+x^12

Степень = число очков, коэффициент = число способов. Для трёх костей возведём в куб. (Вывел Бернулли)

Игральная кость бросалась 4 раза. Рыцарь бился об заклад, что при этом хотя бы 1 раз выпадет 6 очков. Какова вероятность выигрыша для рыцаря?

Рассмотрим противоположное событие: не выпало ни одной шестёрки, таких случаев 5^4 тогда всего случаев 6^4, и вероятность рыцаря 1-(5^4)/(6^4) = 671/1296 чуть больше одной второй, значит, при большом количестве игр он выигрывал.

Вторая игра Де-Маре: Две игральные кости бросаются 24 раза. Рыцарь бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадут две шестёрки. Какова вероятность проигрыша для рыцаря?

(35/36)^24 = больше одной второй – проигрыш рыцаря (Паскаль объяснил, почему)

Около прямоугольного треугольника АВС описана окружность. На его катетах (как на диаметрах) построены полуокружности. Доказать, что сумма площадей двух образовавшихся «луночек» (от слова луна – полумесяц) равна площади треугольника АВС.

(Задача Гиппократа Хиосского)

Дата добавления: 2014-01-06