Понятие Дисперсия

Дисперсия дискретной случайной величины.

Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

Лекция 01.03.13

3) Математическое ожидание суммы двух случайных величин Х, У равно сумме их математических ожиданий:

N(X+Y)= M(X)+M(Y)

Доказательство: пусть Х,У имеют следующие законы распределения:

Х	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	х9
Р(Х)	P1	P2	P3	P4	…
Y	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7	y8	y9
Р(Y)	q1	q2	q3	q4	…

Для упрощения доказательства ограничимся двумя возможными значениями каждой из случайных величин Х, Y. (В общем случае доказательство аналогично)

Составим все возможные значения величины Х + Y, для этого к каждому возможному значению случайной величины Х прибавим каждое возможное значение случайной величины Y:

Х+Y	х1+y1	х1+y2	x2+y1	х2+y2
Р(Х+Y)	P11	P12	P21	P22

Вероятности значений обозначим Р₁₁, Р₁₂, Р₂₁, Р₂₂. Докажем, что Р₁₁+ Р₁₂ = Р₁

Событие, состоящее в том, что Х примет значение х₁ (его вероятность равна Р₁) влечёт за собой события состоящее в том, что Х+Y примет значения х₁+у₁ или х₁+у₂ Вероятность этого события, по теореме сложения вероятностей для несовместимых событий равна Р₁₁+ Р₁₂, поэтому Р₁₁+ Р₁₂= Р₁.

Также доказывается, что Р₁₁+ Р₂₁= q₁, Р₂₁+ Р₁₂ = Р₂, Р₁₂+ Р₂₂ = q₂. Дальше согласно формуле математического ожидания:

M(X+Y) = (x₁+y₁)P₁+(x₁+y₂)P₁₂+(x₂+y₁)P₂₁+(x₂+y₂)P₂₂. Раскроем эти скобки, и будем собирать подобные:

M(X+Y) = x₁(P₁+ P₁₂) + х2(Р1+Р21+Р22)+ … = х1*Р1+х2*Р2+y1*q1+y2*q2

Def: случайные величины Х, Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая случайная величина. Несколько случайных величин называются независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.

4) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин Х, Y равно произведению их математических ожиданий

Доказательство – аналогично доказательству свойства 3).

5) Математическое ожидание разности двух случайных величин Х, Y равно разности их математических ожиданий.

Доказательство: Имеем: М(Х-Y) = М[X+(-Y)] = по 3 св-ву = М(Х) + М(-Y)= М(Х) – 1*М(Y).

Примечание: Свойства 3), 4) имеют место и для любого конечного числа случайных величин.

Примечание2: Если множества возможных значений дискретной случайной величины Х бесконечно, то математическое ожидание М(Х) определяется суммой числового ряда:

М(Х) = от 1 до ∞ (х к-тое*Р_k), при условии, что этот ряд сходится абсолютно. Перечисленные свойства математического ожидания остаются в силе и в этом случае.

Математическое ожидание не даёт полной характеристики закона распределения случайной величины, что видно из следующего примера:

Пусть заданы две дискретные случайные величины Х, Y своими законами распределения.

Х	-2
Р(Х)	0.4	0.2	0.4
Y	-100
Р(Y)	0.3	0.4	0.3

Посчитаем математическое ожидание М(Х)= -2*0.4+0*0.2+2*0.4 = 0,

М(Y)=-100*0.3+0*0.4+100*0.3=0

Несмотря на то, что математические ожидания величин Х, Y одинаковы возможные значения этих величин «разбросаны» или «рассеяны» около своих математических ожиданий по-разному. Возможные значения величины Х расположены гораздо ближе к своему математическому ожиданию, чем возможные значения случайной величины Y, хотя математические ожидания одинаковы.

Отсюда возникает необходимость введения новой числовой характеристики случайной величины, по которой можно было бы судить о «рассеянии» возможных значений этой случайной величины.

Пусть задана дискретная случайная величина Х:

Х	х1	х2	…	хn
Р(Х)	Р1	Р2	…	Рn

Def: отклонением случайной величины Х от её математического ожидания М(Х) (или просто отклонением) называется случайная величина Х – М(Х).

Из определения отклонения видно, что для того, чтобы отклонение Х приняло значение х₁ – М(Х) достаточно, чтобы случайная величина Х приняла значение х₁. Вероятность же этого значения равна Р₁ значит, и вероятность того, чтобы отклонение случайной величины Х – М(Х) приняло значение х₁ – М(Х) также равна Р₁. Так же обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения случайной величины Х. Отсюда, закон распределения отклонения случайно величины Х примет следующий вид:

Х– М(Х)	х1-М(Х)	х2-М(Х)	…	хn-М(Х)
Р(Х)	Р1	Р2	…	Рn

Вычислим теперь математическое ожидание отклонения Х-М(Х): имеем М[Х-М(Х)] =

= М(Х) – М(М(Х)) = 0.

Тем самым, пришли (доказали) к следующей теореме:

Терема: Математическое ожидание отклонения Х -М(Х) = 0, т.е. М[X-M(X)] = 0.

Из полученной теоремы видно, что с помощью отклонения не удаётся определить среднее отклонение возможных значений величины Х от её математического ожидания, т.е. оценить степень рассеяния величины Х. Это объясняется взаимным погашением положительных и отрицательных возможных значений самого отклонения. Однако, можно освободиться от этого недостатка если рассматривать квадрат отклонения случайной величины Х, т.е. если рассматривать случайную величину: [X -М(Х)]² те же рассуждения, что и в случае самого отклонения позволяют записать следующую таблицу:

Х– М(Х)	(х1-М(Х))^2	(х2-М(Х))^2	…	(хn-М(Х))^2
Р(Х)	Р1	Р2	…	Рn

Def: Дисперсией D(X) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от её математического ожидания:

D(X) = M[(X – M(X))²]

Из закона распределения случайной величины [(X – M(X))²] следует, что

D(X) = [x₁ – M(X)]²*P₁ + [x₂ – M(X)]²*P₂ + … + [x_n – M(X)]²*P_n &&&&

Дата добавления: 2014-01-06