Векторные функции скалярного аргумента

Элементы дифференциальной геометрии

Векторназывается векторной функцией скалярного аргумента, если каждому значению скаляра из области допустимых значений соответствует определенное значение вектора:

Вектор

называется бесконечно малым, если его модуль стремится к нулю.

Производной векторной функции по ее скалярномуаргументуназывается предел отношения приращения вектора к соответствующему приращению аргумента, когда это приращение стремится к нулю:

Некоторые правила дифференцирования векторной функции по скалярному аргументу:

чему соответствует отрицательное значение длины отрезка

Последнее выражение можно представить иначе:

Откуда получаем условие отсутствия подрезания:

Радиус окружности, на которой начинается формообразование эвольвентного профиля рейкой:

2.11.4. Формообразованиеэвольвентного профиля долбяком

Рассмотрим передачу внешнего зацепления, составленную из эвольвентного цилиндрического колеса и инструмента в виде долбяка.

Колесо вращается с угловой скоростью

а долбяк‑ с угловой скоростью

Линия зацепления

в процессе обработки не изменяет своего положения, т. к. проходит через две неподвижные точки: полюс зацепления и точку касания с основной окружностью радиуса

Таким образом, угол зацепления, т. е. угол под которым линия зацепления пересекает касательную к начальным окружностям в полюсе зацепления,

Линия зацепления также касается окружности радиуса

которая жестко связана с долбяком. Данная окружность называется основной окружностью долбяка. В процессе обработки начальные окружности радиусами

обкатываются без проскальзывания. Скорость полюса

Учитывая, что

получаем

где

‑ это скорость линии зацепления, которая движется поступательно вдоль самой себя.Линия зацепления и основная окружность колесаобкатываются без проскальзывания. Это же справедливо и для пары линия зацепления - основная окружность долбяка.Движение линии зацепления относительно колеса, т. е. перекатывание без проскальзывания линии зацепления по мысленно остановленной основной окружности колеса, очевидно, приводит к образованию заданной эвольвенты определенной точкойлинии зацепления – точкой контакта профилей колеса и долбяка, взятой в определенный момент времени.

Но то же самое можно утверждать касательно долбяка. Следовательно, профиль долбяка представляет собой эвольвенту.

При изготовлении долбяка обеспечивают стандартное значение угла профиля на его делительной окружности:

При этом такое же значение угла профиля получается на делительной окружности колеса. Действительно, на соответствующих начальных окружностях шаги зубьев долбяка и колеса одинаковы и равны

откуда следует, что шаги зубьев долбяка и колесаодинаковы также и на соответствующих основных окружностях:

откуда, в свою очередь, следует, что

Угол зацепления находится следующим образом. Межосевое расстояние в станочном зацеплении колеса и долбяка

В итоге получаем

При этом межосевое расстояние может быть определено следующим образом:

где

‑ это радиус впадин обрабатываемого колеса, а

‑ радиус выступов долбяка.

Угол зацепления может быть найден другим способом. Шаг зубьев и долбяка, и колеса на соответствующих начальных окружностях равен

где

‑ это толщина зуба колеса на его начальной окружности, а

‑ толщина зуба долбяка на его начальной окружности.

При этом подразумевается т. н. беззазорное зацепление, когда толщина зуба долбяка равна ширине впадины колеса на соответствующих начальных окружностях и наоборот.

Имеем

Величина

задается на чертеже посредством коэффициента

смещения исходного контура, при этом

Величина

может быть определена при помощи измерения толщины

зуба долбяка на делительной окружности, при этом

2.11.5. Интерференция цилиндрических эвольвентных колес внешнего зацепления

При определенных сочетаниях геометрических параметров колес может возникнуть явление интерференции, когда в контакт с эвольвентным профилем одного колеса начинает вступать переходная кривая другого колеса.

Введемследующиеобозначения:

1) точка

профиля зуба колеса 1, вступающая в контакт с вершиной профиля зуба колеса 2;

2) точка

профиля зуба колеса 2, вступающая в контакт с вершиной профиля зуба колеса 1;

3) точка

началаэвольвентногопрофиляколеса 1;

4) точка

начала эвольвентного профиля колеса 2.

Условие отсутствия интерференции в точке

можно выразить следующим образом:

Аналогичнодляколеса 2:

Углы

зависят от вида обработки колес.

Если одно из зубчатых колес передачи представляет собой долбяк, например, колесо 2, то в процессе нарезания зубьев могут возникнуть два явления: подрезание и срезание зубьев колеса 1.

Условие отсутствия подрезания:

Радиус окружности, на которой начинается формообразование эвольвентного профиля долбяком:

Угол

определяется следующим образом:

Условие отсутствия срезания:

Дата добавления: 2014-01-06