Функции одной переменной. Понятие функции

Определение. Пусть X и Y – некоторые числовые множества. Функцией f называется множество упорядоченных пар чисел (x,y), таких, что , и каждое x входит в одну и только в одну пару этого множества, а каждое yвходит по крайней мере в одну пару.

При этом говорят, что числу x поставлено в соответствие число y и пишут .

Число y называется значением функции fв точке x.

Переменная x называется независимой переменной или аргументом, а y – зависимой переменной.

Определение. Пусть – функция. Множество X называется областью определения функции f. Обозначение:

Определение. Пусть – функция. Множество Yназывается областью значений функции f. Обозначение: .

Определение. Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянная функция часто обозначается C.

Задать функцию - это значит указать закон fопределения зависимой переменной для каждого значения аргумента из области определения функции. Существует несколько основных способов задания функции.

I.Аналитический способ.

Этот способ состоит в том, что зависимость определяется между переменными величинами определяется с помощью формулы.

Пример. 1) , ,

2) , ,,

3) = sgn x.

Sgnx от лат.signum-знак.

4)Функция Дирихле:

Отметим что изобразить графически функцию Дирихле невозможно.

II.Табличный способ.

С помощью таблицы можно задать функцию только при конечном числе значений аргумента. Этот способ имеет широко применение в разных отраслях знаний: экспериментальных измерениях, таблицах, бухгалтерской отчетности и банковской деятельности и т.п.

III. Графический способ.

Графический способ обычно используют в экспериментальных измерениях с употреблением самопишущих приборов (осциллографы, сейсмографы, барографы, и др.) В экономике широко используются графики, характеризующие динамику экономических параметров: объема, ВВП, выручки, курсов валют и т.п.

Определение. Функция называется четной, если , .

Функция называется нечетной, если

Замечание. График четной функции симметричен относительно оси Oy.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.x

Определение. Функция называется периодической с периодом T, если

Определение. Функция называется возрастающей, если из всегда (т.е. большемyjу значению аргумента соответствует большее значение функции).

Определение. Функция называется убывающей, если из всегда (т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

Определение. Если на некотором множестве X определена функция со множеством значений Z, а на множестве Z – функция ,то функция называется сложной функцией от x(или суперпозицией, (композицией) функции ).

Пример. , ,

Определение. Пусть –функция, т.е. Множество пар чисел вида называется обратной функцией к функцииf.

Замечание. В общем случае, обратная функция не является функцией.

Пример. 1) y=x- функция, x=y- обратная к ней функция.

2) , но не является функцией.

Замечание. Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над простейшими элементарными функциями, а также суперпозиций этих функций, составляют класс элементарных функций.

Имеет место следующая классификация элементарных функций:

1. Функция вида f(x)=a₀ +a₁x+a₂x²+…+a_kx^k, где k≥0, k∈ℤ, a₀,…,a_k∈ℝ, a_k≠0 называется целой рациональной функцией или многочленом степени k.

Многочлен первой степени называется также линейной функцией.

2. Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных функций , называется дробно-рациональной функцией.

3. Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и 4-х арифметических действий над степенными функциями, как с целыми, так и с дробными показателями и не являющаяся рациональной называется иррациональной.

4. Всякая функция, не являющаяся рациональной или иррациональной, называется трансцендентной функцией.

Пример. , – рациональные целые функции;

– дробно-рациональная функция;

, – иррациональные функции;

, – трансцендентные функции.

Дата добавления: 2014-01-07