Общая постановка задачи исследования операций

ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Последовательность действий исследователя при проведении эксперимента с целью построения регрессионной модели объекта

1. Выбор варьируемых и стабилизируемых факторов, а также выходных величин эксперимента.

2. Выбор регрессионной модели.

3. Определение диапазона варьирования факторов.

4. Выбор плана эксперимента.

5. Составление методики проведения эксперимента.

6. Постановка разведывательных опытов. Проверка нормальности распределения выходной величины. Определение числа дублированных опытов.

7. Проведение основного эксперимента.

8. Отбрасывание грубых наблюдений. Проверка однородности дисперсий опытов. Расчет дисперсии воспроизводимости (при отсутствии дублированных опытов дисперсия воспроизводимости определяется по результатам отдельной серии опытов).

9. Расчет коэффициентов регрессии математической модели.

11. Проверка адекватности и эффективности регрессионной модели.

12. Интерпретация результатов.

Приведенный перечень этапов только приблизительно отражает реальную последовательность действий экспериментатора, поскольку многие этапы оказываются взаимосвязанными. Таковы, например, выбор математической модели и определение диапазона варьирования факторов. При выборе диапазона варьирования факторов существенны, прежде всего, соображения экспериментатора, связанные с возможностью применения полученных им результатов и рекомендаций в производственной сфере. Поэтому диапазоны варьирования факторов в эксперименте обычно соответствуют реальным производственным условиям. Необходимо отметить, кроме того, что диапазоны варьирования факторов следует выбирать тем больше, чем ниже точность фиксирования факторов и чем меньше диапазон изменения выходной величины. С другой стороны, для адекватного описания объекта моделью второго порядка требуются, по сравнению с моделью первого порядка, более узкие диапазоны варьирования факторов.

Первоначально задача оптимизации рассматривается в содержательной постановке, т. е. в том виде, в котором она сформулирована заказчиком – лицом или группой лиц, непосредственно заинтересованных в ее решении. Переход к математической постановке задачи оптимизации осуществляется в несколько этапов.

На первом этапе следует уточнить содержательную постановку задачи, выделив в ней цель, условия решения (исходные данные) и требования, предъявляемые к результатам.

Второй этап – анализ объекта с целью выявления важнейших показателей его функционирования и независимых переменных – факторов, которые целесообразно учесть в ходе решения задачи. Эти факторы можно разделить, в общем случае, на три группы: 1) факторы, определяющие состояние объекта; значения и характер их изменения известны исследователю и не зависят от его воли; их часто называют фазовыми координатами или координатами состояния и обозначают ; 2) факторы, значениями которых можно управлять, т. е. задавать тем или иным образом для достижения поставленной цели; их называют элементами решения и обозначают ; 3) факторы, значения которых неизвестны исследователю, – . Задача, в которой имеются только факторы 1-й и 2-й групп, называется детерминированной задачей исследования операций. При наличии в задаче факторов всех трех групп говорят о задаче исследования операций в условиях неопределенности.

Третий этап – формулировка критерия оптимальности. На этом этапе следует выбрать единственный числовой показатель , соответствующий цели исследования.

Четвертый этап – математическая формулировка задачи исследования операций. По результатам аналитических и (или) экспериментальных исследований находят функциональную зависимость выбранного критерия оптимальности от исследуемых переменных:

а также зависимости, определяющие условия функционирования объекта. Они записываются в виде равенств или неравенств и носят название ограничений:

(5.1)

Полученную совокупность соотношений называют математической моделью операции или математической моделью задачи оптимизации, коротко – оптимизационной моделью.

Можно сказать, что задача исследования операций заключается в выборе значений переменных , позволяющих, по возможности, увеличить (уменьшить) значение критерия :

при выполнении условий функционирования объекта (1).

Отметим, что слова «по возможности» введены в формулировку задачи исследования операций из-за наличия в модели факторов , значения которых исследователю неизвестны. В детерминированном случае целью операции служит достижение максимума или минимума критерия , зависящего от переменных и .

Рассмотренная модель задачи исследования операций является обобщенной. Условия функционирования объекта могут описываться дифференциальными, интегральными и конечно-разностными уравнениями. Функции и могут, в свою очередь, зависеть от других функций (такие функции называют функционалами). Неопределенность, связанная с наличием факторов , тоже может иметь различный характер. Поэтому в зависимости от структуры модели будут существенно различаться методы решения полученной задачи оптимизации.

Математическая модель операции должна правильно описывать функционирование системы и отражать все основные требования, входящие в содержательную постановку задачи оптимизации. Только в этом случае результаты решения сформулированной математической задачи оптимизации могут найти применение. С другой стороны, математическая модель должна быть достаточно простой и наглядной с тем, чтобы с ее помощью можно было легко получить и исследовать решение задачи. Поэтому при построении модели неизбежны упрощения с помощью следующих приемов: исключения некоторых переменных, влияние которых оказалось несущественным по результатам проведенного анализа; изменения природы переменных, например замена переменной величины постоянной, замена дискретной переменной величины непрерывной или наоборот; изменения функциональной зависимости между переменными, например замена кривых прямолинейными отрезками, или квадратичная аппроксимация функций; изменения ограничений. Сложную задачу можно решить вначале без учета ограничений. Если оказалось, что полученное решение им удовлетворяет, то оно будет приемлемым. В противном случае можно последовательно учитывать ограничения, начиная с наиболее простых.

Дата добавления: 2014-01-07