Характеристики случайного процесса

Понятие о случайных процессах

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ

Работоспособность объекта может быть охарактеризована совокупностью значений его определяющих параметров. Контроль этих параметров дает возможность судить об исправном или неисправном состоянии объекта в данный момент времени. Для определяющих параметров, как правило, устанавливаются допустимые границы изменения таким образом, что при нахождении значений этих параметров в этих границах объект считается исправным, а при выходе хотя бы одного определяющего параметра за установленные границы объект считается неисправным.

В процессе эксплуатации важной задачей является прогнозирование (то есть предсказание) изменения определяющих параметров в будущем на основании знания предыдущих их значений.

Определяющие параметры систем вследствие воздействия различных дестабилизирующих факторов изменяются во времени случайным образом. Поэтому изменение состояния объекта во времени является случайной функцией.

Существует несколько определений случайного процесса, например:

а) Случайным (стохастическим, вероятностным, случайной функцией времени) называется процесс изменения во времени состояния объекта, значение параметров которого является случайной величиной.

б) Случайным процессом называется функция X(t) действительного аргумента t, значение которой в каждом значении t является случайной величиной. Аргумент t может принимать любые значения в заданном интервале (конечном или бесконечном).

Оба определения равнозначны.

Обычно случайный процесс обозначается прописными буквами: X(t), Y(t), Z(t) и т. д.

При разных наблюдениях одного и того же случайного процесса (при наблюдении изменений одних и тех же параметров одинаковых объектов) получаются разные же его реализации. Отдельные реализации обозначаются строчными буквами, индекс которых означает номер реализации: x₁(t), x₂(t),...,y₁(t), у₂(t),...и т. д.

Если аргумент случайной функции может принимать только дискретные значения, то X(t) называется случайной (стохастической) последовательностью.

3начение случайного процесса в некоторый момент времени, например, в момент t₁, может быть определено с помощью закона распределения X₁(t₁) случайной величины X₁. Так как Х₁ является непрерывной случайной величиной, то полной характеристикой случайного процесса в момент t₁ является дифференциальная функция распределения вероятностей случайной величины X₁ в момент времени t₁, то есть f[X(t₁)]=f(X₁).

Однако плотность вероятности f(X₁) характеризует процесс X(t) только в момент времени t₁. Для полного описания случайного процесса необходимо использовать двумерную f₂(X₁,X₂), трехмерную f₂(Х₁,Х₂,Х₃) и т. д. плотности распределения. Однако получение таких функций, с помощью которых можно задать случайный процесс, очень сложный и трудоемкий процесс.

Поэтому на практике случайный процесс характеризуют числовыми характеристиками — математическим ожиданием, дисперсией и корреляционной функцией.

Математическое ожидание ординаты случайной функции в произвольный момент времени не является случайной функцией и полностью определяется одномерной плотностью вероятности:

(8.1)

Корреляционная функция имеет выражение

(8.2)

при равенстве t₁=t₂=t получаем из (8.2) дисперсию случайной функции X(t) в момент времени t:

D[X(t)]=M{X(t)M[X(t)]}² (8.3)

Если известны ансамбль реализаций {x(t)} случайного процесса X(t) и одномерная плотность вероятности f[x(t)], дисперсию можно вычислить по формуле

(8.4)

Числовые характеристики отражают наиболее существенные черты случайного процесса. Математическое ожидание описывает усредненное изменение процесса во времени, дисперсия является характеристикой рассеивания, а корреляционная функция определяет линейные зависимости между различными сечениями процесса.

Раздел теории случайных процессов, оперирующий только математическим ожиданием (момент первого порядка) и корреляционной функцией (вторым центральным моментом), носит название корреляционной теории случайных процессов.

Дата добавления: 2014-01-07