Поверхностный интеграл второго рода (по координатам)

16.4.4.1. Определение поверхностного интеграла второго рода. Пусть в пространстве переменных x,y,z задана ограниченная кусочно-гладкая двусторонняя поверхность, на которой введена ориентация (т.е. с помощью единичного вектора нормали в какой-либо точке задана сторона поверхности), и на которой определена функция R (x, y, z).Разобьём поверхность на частей , на каждой из частей выберем произвольную точку , найдём , нормаль в точке к выбранной стороне поверхности, и площадь проекции части на плоскость ОХУ. В интегральную сумму слагаемое возьмём со знаком "+", если (т.е. если угол между и осью Oz - острый; проекция на орт оси Oz положительна), и со знаком "-", если . В результате интегральная сумма будет иметь вид . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части , ни от выбора точек , то функция R (x, y, z) называется интегрируемой по поверхности , а значение этого предела называется поверхностным интегралом второго рода, или поверхностным интегралом по координатам х, у, и обозначается .

Теорема существования. Если функция R (x, y, z) непрерывна на поверхности , то она интегрируема по этой поверхности.

Если на поверхности , вместе с функцией R (x, y, z), определены функции P (x, y, z) и Q (x, y, z), то, так же, как и интеграл , определяются интегралы и ; в приложениях, как мы видели из рассмотренной в начале раздела физической задачи, обычно рассматривается сумма этих интегралов, которая обозначается .

16.4.4.2. Свойства поверхностного интеграла второго рода. Для этого интеграла, как и для криволинейного интеграла второго рода, имеет смысл формулировать следующие свойства: линейность, аддитивность и зависимость поверхностного интеграла от выбора стороны поверхности: при изменении ориентации поверхности интеграл меняет знак.

16.4.4.3. Вычисление поверхностного интеграла второго рода. Пустьповерхность взаимно однозначно проецируется в область на плоскости Оху. В этом случае имеет одинаковый знак во всех точках поверхности. Именно, , если рассматривается верхняя сторона поверхности, и , если рассматривается нижняя сторона. Поэтому для верхней стороны все слагаемые в интегральной сумме должны браться со знаком "+", и сумма будет иметь вид . Если поверхность задана уравнением , , то эта сумма равна . В последней сумме легко увидеть интегральную сумму для двойного интеграла . Переход к пределу при (при этом и ) даст

. Напомню, что эта формула получена для верхней стороны поверхности. Если выбрана нижняя сторона, то все слагаемые в интегральной сумме должны браться со знаком "-", и интегральная сумма будет иметь вид . Рассуждая, как и для верхней стороны, получим, что в этом случае . Окончательно, , где знак "+" берётся для верхней стороны поверхности, знак "-" - для нижней стороны.

Аналогично изложенному, для других интегралов: , если поверхность однозначно проецируется в область на плоскости Oyz, при этом знак "+" берётся для "передней" стороны поверхности (где ), для "задней" стороны, где , берётся знак "-"; , если поверхность однозначно проецируется в область на плоскость Oхz, знак "+" берётся для "правой" стороны поверхности (где ), для "левой" стороны, где , берётся знак "-". Как и для поверхностного интеграла первого рода, если проецирование не взаимно однозначно, поверхность разбивается на части, которые проецируются однозначно.

Примеры. 1. Вычислить , s - часть поверхности цилиндра y = , заключенная между плоскостями x =0, x =8, z =0, z =3. Сторона поверхности выбирается так, чтобы нормаль образовывала острый угол с осью Oх.

Решение: Определяем знаки направляющих косинусов нормали cosa>0, cosb<0, cosg=0. Поэтому

, где

D_yz ={(y, z): 0£ y £16, 0 £ z £ 3}, D_xz ={(x, z): 0 £ x £ 8, 0 £ z £ 3} - проекции s на плоскости Oyz и Oxz соответственно. Проекция поверхности s на плоскость Oxy вырождается в линию - параболу y =, cosg=0, поэтому интеграл по D_xy в данном случае отсутствует. Вычислим отдельно интегралы по D_yz и D_{xz ,} выражая x (y, z) и y (x, z) из уравнения поверхности s: x (y, z)=2, y (x, z)=.

== dy =328,== dx =928. Окончательно I = 328 - 928 = - 600.

2. Вычислить , где s - часть плоскости , ограниченная координатными плоскостями x =0, у =0, z =0. Сторона поверхности выбирается так, чтобы нормаль образовывала острый угол с осью Oz.

Решение. Из двух направлений нормали к s мы должны выбрать такое, для которого коэффициент при орте (т.е. ) положителен, поэтому выбираем знак "-", тогда . В соответствии со знаками направляющих косинусов, . Вычисляем эти интегралы.

1. .

2. .

3. . Окончательно,

В заключение напомню, что вычисление поверхностного интеграла второго рода всегда можно свести к вычислению поверхностного интеграла первого рода. Так, в последнем примере подынтегральное выражение равно , где , . Поэтому , и, проектируя s на плоскость Оху , получим

.

17. Теория поля.

17.1. Скалярное поле.

17.1.1. Скалярное поле, производная по направлению, градиент. Все физические процессы, проходящие в любой области пространства, характеризуются определёнными значениями некоторых величин. Так, нагревание тела описывается изменением температуры в точках этого тела; загнивание экономического региона характеризуется количеством остановленных в нём предприятий и т.д. Если каждой точке М некоторой области V пространства соответствует значение некоторой скалярной величины u (M), то говорят, что в области V задано скалярное поле u (M). Поле называется стационарным, если оно не меняется во времени; мы будем изучать только стационарные поля.

Формально определение скалярного поля совпадает с определением функции u (M), заданной в области V; это верно и по существу, однако при изучении теории поля полезно иметь в виду, что функция u (M) описывает конкретную физическую реальность. Для изучения функциональной зависимости u (M) нам придётся ввести некоторую систему координат. Вид функции u (M) (её аналитическое выражение) меняется в зависимости от того, как введена координатная система (где расположено начало системы координат, куда направлены оси, каков масштаб измерения расстояний и т.д.), однако сущность, которую описывают эти разные выражения, одна и та же. Произвол в задании системы координат приводит к необходимости различать величины, не зависящие от конкретной системы (инвариантные относительно системы координат), и величины, принимающие разные значения в разных системах (неинвариантные величины). Основной инвариантной величиной является, конечно, само значение u (M) поля в точке М. Мы будем называть поле u (M) гладким, если функция u (M) имеет непрерывные частные производные . Значения этих производных в точке М зависят от системы координат, однако составленная с их помощью линейная комбинация базисных ортов системы образует градиент поля u (M) и инвариантна относительно системы координат. Вектор направлен в сторону роста значений поля u (M) по направлению наибольшей скорости роста; длина равна скорости роста в этом направлении. Инвариантна относительно системы координат производная поля в точке М по любому направлению , выходящему из этой точки, так как она характеризует скорость изменения поля в направлении . Формально производная по направлению определяется как , где в зависимости от того, имеют ли ось и вектор одинаковые или противоположные направления. Производная по направлению выражается через градиент формулой

,

где - орт направления , - направляющие косинусы этого направления.

В дальнейшем для обозначения градиента мы часто будем применять введённый Гамильтоном оператор ("набла"). Этот вектор-оператор определяется как . Если формальное произведение понимать как , то , т.е. произведение вектора набла на скаляр u (M) даёт значение градиента поля u в точке M.

Градиент поля имеет следующие дифференциальные свойства

1. , или ;

2. , или ;

3. , или ;

4. , или ,

которые легко доказываются применением обычных правил дифференцирования.

Для визуального изображения скалярных полей применяются поверхности и линии (в плоском случае) уровня. Поверхностью уровня скалярного поля u (M), соответствующей значению поля С, называется геометрическое место точек таких, что . Поверхности уровня, соответствующие разным значениям постоянной С, не могут иметь общих точек, поэтому область V, в которой задано поле, расслаивается на поверхности уровня; совокупность этих поверхностей, построенных для некоторого регулярного набора значений С, например, С =1, С =2, С =3 и т.д., даёт наглядное представление об изменении поля при переходе от одной точке к другой. Поле меняется быстрее там, где эти поверхности расположены гуще. Градиент поля в каждой точке Р ₀ ортогонален поверхности уровня, проходящей через эту точку, т.е. поверхности .

Дата добавления: 2014-01-07