Поток векторного поля через поверхность

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОТСТУПЛЕНИЕ

Лекция 2. Потенциал электростатического поля.

Найдём напряжённость поля в точке, находящейся на расстоянии z от плоскости.

Если плоскость представить как набор тонких, вложенных друг в друга соосных колец, ось которых проходит через искомую точку, то можно воспользоваться результатом предыдущего примера.

Заряд тонкого кольца, радиус которого R и толщина dR равен dq =s× d S=s×2p RdR.

Тогда искомая напряжённость.

Переходя к интегрированию, получаем.

Величина напряженности поля заряженной пластины,

где - поверхностная плотность заряда (Кл/м²).§

Электрическое поле называется однородным, если вектор напряженности в каждой точке поля одинаковый (по величине и по направлению). Следовательно, поле бесконечной заряженной пластины однородное.

Работа электростатического поля при перемещении зарядов. Циркуляция вектора напряжённости. Связь напряжённости и потенциала.

Будем предполагать, что в некоторой области пространства задано непрерывно-дифференцируемое векторное поле.

Потоком вектора через некоторую поверхность называется величина.

v

n

a

S

В простейшем случае плоской поверхности S и однородного векторного поля поток определяется как

,

где a - угол между вектором и нормалью к площадке S.

Если поверхность S не является плоской, то она разбивается на элементарные участки величиной dS, такие, что каждый из них можно рассматривать как малую часть плоскости, а поле вблизи площадки – постоянным. Затем для каждого из участков ищется соответствующая величина, а потом производится суммирование по всей поверхности.

Если ввести вектор, перпендикулярный к каждой площадке:, где - единичная нормаль к площадке dS, то величину потока записать можно в виде.

Тогда общий поток.

S

v

v×dt

Пример. Найдем объем жидкости протекающей через некоторую малую наклонную площадку за единицу времени.

Пусть скорость жидкости равна v и в пределах площадки её можно считать постоянной, тогда объём жидкости, прошедшей через площадку за малый промежуток времени dt, заполнит внутренность косого параллелепипеда, объём которого равен. Здесь a - угол отклонения вектора скорости жидкости от направления, перпендикулярного площадке, т.е. угол между вектором единичной нормали к площадке и вектором скорости жидкости. Если ввести вектор, то объёмный расход жидкости, т.е. объём жидкости, протекающей через площадку в единицу времени, можно определить соотношением.§

a

d l

v

Г

2) Циркуляция векторного поля.

Рассмотрим интеграл от векторного поля вдоль кривой линии Г:, где - касательный вектор к каждой точке кривой. Таким образом, кривая является ориентированной – она имеет начальную и конечную точки (так как задано направление вдоль кривой с помощью вектора).

В случае, когда векторное поле постоянное, а кривая – отрезок прямой линии длиной L, интеграл равен

,

где a - угол между векторами поля и касательным вектором.

В случае если кривая линия не является прямой и векторное поле не постоянное, нужно разбить линию на малые (почти) прямолинейные участки длиной dl, такие, что на каждом из участков поле можно рассматривать как постоянное. Для каждого участка найти величину, а затем просуммировать полученные все выражения

.

Пусть кривая линия является замкнутой (без самопересечений во внутренних точках). Такую линию будем в дальнейшем называть контуром. Интеграл от векторного поля по замкнутой кривой Г: называется циркуляцией этого векторного поля вдоль контура Г.

Дата добавления: 2014-01-06