Ток смещения

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Закон полного тока. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах.

Лекция 10. Основные положения электромагнитной теории Максвелла.

Закон электромагнитной индукции Фарадея или свидетельствует о том, что изменение магнитного поля приводит к появлению сторонних сил в проводнике, действующих на носители тока. Как показывает пример с проводником, поступательно движущимся в магнитном поле, эти сторонние силы аналогичны силам, действующим на электрические заряды со стороны электрического поля. Поле этих сил является вихревым, поэтому его называют вихревым электрическим полем.

Первая гипотеза Максвелла состоит в том, что появление вихревого электрического поля из-за меняющегося во времени магнитного поля в некоторой области пространства не зависит от наличия в этой области проводника или носителей тока. При этом электрическое поле в любой области пространства является суперпозицией электростатического (кулоновского) поля (с напряжённостью), создаваемого электрическими зарядами, и вихревого электрического поля (с напряжённостью), создаваемого переменным магнитным полем. Напряженность суммарного электрического поля. Найдем дивергенцию суммарного электрического поля. Т.к. и, то.

Из и следует равенство:

.

Теорема о циркуляции для вектора напряжённости магнитного поля имеет вид:.

Применим к обеим частям дивергенцию:. Левая часть равна нулю:, но правая (уравнение непрерывности электрического заряда).

Откуда следует, т.е. объемная плотность заряда не зависит от времени. Следовательно, равенство применимо для случая, когда. В этом случае векторное поле плотности тока является вихревым, поэтому линии тока замкнутые. Рассмотрим теорему о циркуляции вектора напряженности вокруг замкнутого проводника, в котором течёт постоянный ток.

Г

S ₃

S ₂

S ₁

S ₄

H

H

I

Линии тока в этом случае замкнутые, поэтому если взять несколько поверхностей S₁, S₂, S₃, S₄ имеющих вид мешков, общим горлом которых является контур Г, то должно выполняться равенство:

,

т.к. сила тока в любом сечении проводника одинаковая.

Г

S ₃

S ₂

S ₁

S ₄

H

H

I

C

Теперь поместим в цепь конденсатор С. Пусть по цепи протекает постоянный ток. Поверхность S ₃ проведём таким образом, чтобы она охватывала одну из обкладок конденсатора. Так как в конденсаторе нет тока проводимости, то

,

но по-прежнему

.

Но расположение конденсатора можно поменять так, чтобы одна его обкладка находилась внутри поверхности не S₃, а например, S₂. Тогда получим равенства и

.

Получаем противоречие – циркуляция векторного поля по контуру Г, не охватывающему участок цепи с конденсатором, зависит от произвольного выбора места расположения конденсатора. Чтобы снять это противоречие Максвелл выдвинул гипотезу о том, что наряду с током проводимости существует ток смещения, который также создаёт магнитное поле. Плотность тока смещения задаётся скоростью изменения вектора электрического смещения:.

Плотность полного тока – векторная сумма плотности тока проводимости и плотности тока смещения:.

Найдём дивергенцию вектора плотности полного тока. Учтём закон сохранения электрического заряда и теорему Гаусса для вектора электрического смещения:

.

Таким образом, векторное поле плотности полного тока не имеет источников, т.е. является вихревым, следовательно, силовые линии полного тока являются замкнутыми.

Рассмотрим случай, когда по замкнутой цепи течёт постоянный ток, тогда, откуда

.

Т.к. цепь замкнутая, то не происходит накапливания электрического заряда ни в одной точке цепи с течением времени и поэтому можно считать, что вдоль цепи. Поэтому нет тока смещения и.

Если цепь содержит конденсатор, то между обкладками отсутствует ток проводимости. Поэтому силовая линия тока проводимости имеет разрыв на обкладках конденсатора – т.е. обкладки имеют стоки и источники поля векторов плотности тока проводимости. Из уравнения непрерывности для тока следует, что источниками (и стоками) электрического тока в цепи являются меняющиеся электрические заряды на обкладках. Но, в то же самое время, изменение электрического заряда на обкладках служит стоком и источником тока смещения в пространстве между обкладками:

.

Т.е. из-за изменения электрического заряда конденсатора (во времени) векторное поле электрического смещения в пространстве между обкладками будет меняться во времени, что приведёт к появлению тока смещения в пространстве между обкладками конденсатора. Поэтому между обкладками конденсатора.

Так как сила тока проводимости (с учётом знака) равна потоку вектора плотности тока проводимости через ориентированную поверхность:, то, аналогично, можно определить и силу тока смещения (с учётом знака) через ориентированную поверхность:.

Если поверхность S неподвижная, то

.

Закон полного тока: сила полного тока равна сумме тока проводимости и тока смещения.

Вывод. Если в теореме о циркуляции для напряжённости магнитного поля заменить ток проводимости на полный ток, то противоречие будет снято:

,.

Или, в интегральной форме:

- циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по любому замкнутому (ориентированному) контуру равна сумме токов проводимости и смещения через ориентированную поверхность, ограниченную этим контуром. Ориентации контура и поверхности согласованы правилом правого винта (буравчика). Эти соотношения часто называют законом полного тока.

Эти соотношения свидетельствуют о том, что магнитное поле может порождаться переменным во времени электрическим полем.

Пример. Найдем циркуляцию вектора напряжённости магнитного поля в пространстве между обкладками плоского конденсатора, включённого в цепь с постоянным током.

Пусть сила тока в цепи равна I. Конденсатор плоский, обкладки – круги радиусом R. Расстояние между обкладками d много меньше R (в этом случае электрическое поле между пластинами в каждый момент времени приближённо можно считать однородным). Ток в цепи постоянный, поэтому заряды «положительной» и «отрицательной» обкладок линейно зависят от времени:.

I

I

+ q

- q

H

H

D

¶ D /¶ t

Г

Пусть - единичный вектор нормали к пластине с положительным зарядом. Между обкладками вектор электрического смещения направлен перпендикулярно пластинам: (от положительно заряжённой к отрицательно заряженной). Нормальная составляющая вектора электрического смещения равна длине вектора. С другой стороны, внутри плоского конденсатора (- поверхностная плотность стороннего заряда, - площадь обкладки конденсатора), поэтому. Найдём производную от вектора по времени:

.

Но, поэтому и вектор тоже направлен перпендикулярно пластинам. Пусть в рассматриваемом случае заряд положительной пластины увеличивается, тогда и векторы и направлены одинаково.

Поле между пластинами обладает осевой симметрией, поэтому найдём циркуляцию по контуру Г, который является окружностью в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, с центром на оси симметрии. Пусть радиус окружности равен r.

Контур ограничивает плоский круг S, на котором можно ввести ориентацию (вектор), совпадающую по направлению с направлением вектора электрического смещения. Поток этого векторного поля через поверхность круга равен. Поэтому сила тока смещения

.

Силовые линии магнитного поля являются окружностями, лежащими в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, центры окружностей находятся на этой оси. Поэтому выбранный контур Г совпадает с какой-то силовой линией. Тогда вектор напряжённости магнитного поля направлен по касательной к Г и его величина зависит только от радиуса окружности r. Ориентацию на Г выберем согласованной c направлением векторного поля. Так как в рассматриваемом случае векторы и направлены одинаково, то направления касательных векторов и совпадают, поэтому.

Ток проводимости между обкладками конденсатора отсутствует (I =0), поэтому

.

Тогда, откуда. В частности, при r = R получаем - такое же значение, как если бы между обкладками конденсатора протекал ток проводимости силой I. §

Дата добавления: 2014-01-06