Интенсивность электромагнитной волны - усреднённое значение модуля вектора Пойнтинга

.

При распространении плоской электромагнитной волны в среде с постоянными значениями e и m, величины напряжённостей магнитного и электрического полей связаны соотношением

.

Отношение амплитуд напряжённостей электрического и магнитного полей называется волновым сопротивлением среды. Единица измерения Ом.

Для вакуума (e=1, m=1) Ом.

Объёмная плотность энергии в плоской волне равна сумме объёмных плотностей энергии электрического и магнитного полей:

Из соотношения амплитуд следует, что объёмные плотности энергии электрического и магнитного полей в плоской волне равны друг другу. Действительно,

.

Таким образом, энергия плоской волны равномерно распределена на электрическую и магнитную части. По аналогии с МКТ, иногда говорят, что плоская электромагнитная волна обладает двумя степенями свободы.

Поэтому. Или

,

объёмная плотность энергии в плоской электромагнитной волне тоже является плоской волной, но с удвоенной частотой. Фазовая скорость волны энергии равна фазовой скорости электромагнитной волны.

Средняя плотность энергии, переносимая плоской электромагнитной волной

.

Изменение объёмной плотности энергии электромагнитного поля в данной точке

.

Воспользуемся уравнениями Максвелла

,.

Откуда

,.

Тогда

,

.

Используем оператор «набла»:

.

Т.к. оператор «набла» - это оператор дифференцирования и для любого произведения

,

то,

т.е.

.

Поэтому

.

Проинтегрируем это выражение по объёму некоторой области V, в которой есть электромагнитное поле:

.

Если область не движется, то, где энергия электромагнитного поля в области объёмом V.

По закону Ома или, где - удельное сопротивление среды. Поэтому выражение - это дифференциальная форма закона Джоуля-Ленца. Тогда

- мощность выделения теплоты (по закону Джоуля-Ленца) в области объёмом V.

По теореме Остроградского-Гаусса,

где S – ориентированная наружу поверхность, являющаяся границей области V.

Вектор (P - буква «пи») называется вектором Пойнтинга (Джон Генри Пойнтинг - британский физик (1852 - 1914)). Окончательно получим равенство, называемое теоремой Пойнтинга

.

Скорость изменения энергии электромагнитного поля в некоторой области равна, с обратным знаком, сумме мощности выделения теплоты (по закону Джоуля-Ленца) и потока вектора Пойнтинга через границу области, ориентированную наружу.

Если в области нет тепловыделения, то в случае, когда векторное поле на границе S направлено внутрь области, поток отрицателен, а - энергия области увеличивается. И наоборот, если поток вектора Пойнтинга направлен наружу из области V, т.е., то - энергия в области убывает.

П

v × dt

H

E

S _^

Рассмотрим область, в которой распространяется плоская электромагнитная волна. Предположим, что в области нет выделения теплоты по закону Джоуля-Ленца. Выделим в области малую площадку S _^, перпендикулярную вектору Пойнтинга, и найдём поток вектор Пойнтинга через эту площадку за малое время dt. Так как скорость волны объёмной плотности энергии равна фазовой скорости электромагнитной волны v, то количество энергии, прошедшей через площадку, равно энергии в объёме прямого цилиндра с площадью основания S _^ и высотой vdt:

.

Поверхность цилиндра ориентирована наружу, а вектор Пойнтинга направлен внутрь цилиндра, поэтому. Тогда из равенства следует:. В векторном виде можно записать равенство:

.

(Из этой формулы следует, что вектор Пойнтинга направлен по движению волны.)

Следовательно, вектор Пойнтинга – это вектор Умова-Пойнтинга, соответствующий электромагнитной волне. Поэтому физический смысл вектора Пойнтинга состоит в том, что он указывает направление потока энергии, а его величина равна плотности мощности потока энергии.

Пример. Рассмотрим часть цилиндрического проводника длиной l и площадью поперечного сечения S _^, по которой протекает постоянный электрический ток. Предположим, что величина плотности тока постоянна в сечении проводника, поэтому сила тока равна

.

j

H

H

E

E

Г

П

П

dS

По закону Ома, где r - удельное сопротивление проводника. На поверхности проводника вектор направлен по касательной к силовой линии Г, а его величина

,

где r – радиус проводника. Направления и согласованы правилом буравчика, и направлены перпендикулярно друг другу, но, поэтому. Тогда на поверхности проводника вектор Пойнтинга направлен вглубь проводника, т.е. против вектора. Найдём поток вектора Пойнтинга через (боковую) поверхность проводника:

.

Здесь учтено, что и что векторы и направлены противоположно.

Т.к.,, то

,

где электрическое сопротивление проводника. Итак, поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность проводника равен по величине мощности тепловыделения в проводнике (по закону Джоуля-Ленца):

.

Следовательно, - энергия электромагнитного поля в проводнике не меняется.§

Рассмотрим в некоторой инерциальной системе отсчёта плоскую электромагнитную волну, движущуюся вдоль оси Z. Следовательно, вектор Пойнтинга тоже направлен вдоль оси Z. Пусть S_Z - малая площадка, перпендикулярная оси Z (и вектору Пойнтинга). Предположим, что волна полностью поглощается веществом этой площадки. Как известно, в электромагнитном поле на тела действуют силы, создающие давление, равное по величине объёмной плотности энергии p = w. Поэтому величина силы, действующей на площадку равна F = pS _Z. Вектор этой силы направлен перпендикулярно площадке в направлении движения волны, т.е. вдоль оси Z, поэтому можно написать, что F _Z= pS _Z. За малый промежуток времени dt импульс этой силы будет равен, где - величина энергии волны, поглощенной площадкой за время dt, а v – фазовая скорость волны. Импульс силы, действующей на площадку, равен изменению импульса этой площадки вдоль оси Z:.

Если предположить, что импульс площадки до падения на неё электромагнитной волны был равен нулю, то, спустя некоторый промежуток времени, у площадки появится импульс, величина которого прямо пропорциональна величине энергии, поглощенной за этот промежуток времени:

.

Если рассматривать систему волна-площадка как замкнутую, то в этой системе импульс сохраняется, следовательно, изменение импульса площадки равно изменению импульса волны. Таким образом, электромагнитной волне следует приписать величину импульса P, величина которого связана с энергией W, переносимой волной с фазовой скоростью, соотношением

.

Тогда единице объёма волны можно приписать величину удельного импульса

Но из выражения следует, что. Поэтому единичный объём электромагнитной волны обладает импульсом, величина которого. Поэтому в векторном виде

.

Замечание. Из результатов, полученных в СТО, следует соотношение между энергией W, импульсом P и массой покоя m ₀ материальных тел:

.

В вакууме скорость электромагнитной волны равна c, поэтому для импульса и энергии некоторого объёма волны

.

Следовательно, масса покоя электромагнитного поля в этом объёме волны равна нулю.

За малый промежуток времени dt изменение импульса ориентированной площадки S _Z, полностью поглощающей электромагнитную волну, равно. Но при отсутствии тепловыделения (по закону Джоуля-Ленца) из теоремы Пойнтинга следует равенство

.

Здесь S – это замкнутая поверхность, внутри которой находится рассматриваемая площадка S _Z. В случае полного поглощения электромагнитной волны вектор Пойнтинга отличен от нуля только на площадке S _Z, поэтому

.

При этом вектор Пойнтинга перпендикулярен к площадке S _Z, т.к. по условию он направлен вдоль оси Z:. Следовательно,

.

Если вектор Пойнтинга представить в виде сумме координатных векторов

, где,,,

то будет справедливым соотношение

.

поэтому в данном случае

.

Поэтому изменение импульса площадки вдоль оси Z равно

.

Слева стоит мгновенное изменение импульса площадки вдоль оси Z. Так как система отсчёта инерциальная, то справа, по второму закону Ньютона, должна стоять проекция суммы сил, действующих на площадку со стороны электромагнитной волны, на это же направление Z:

,

где v – фазовая скорость волны (в вакууме v = c), S – ориентированная (наружу) замкнутая поверхность, внутри которой находится площадка.

Пример. На поверхность шара радиуса R, находящегося в вакууме, падает плоская электромагнитная волна. Длина волны много больше радиуса шара l>>R. Найти силу, действующую на шар в случае полного поглощения им волны. Максимальная напряженность электрического поля в волне равна Е ₀.

dS

П

a

p-a

Z

d a

r

Введём ось Z вдоль направления падения волны. Тогда вектор Пойнтинга.

Величина.

В вакууме у плоской электромагнитной волны

, где Ом – волновое сопротивление.

.

Скорость света в вакууме v=c, поэтому проекция силы на ось Z равна.

Вводим угловую координату a. Тогда

.

Угол a и величина П_Z одинаковые на участках поверхности dS, образующих кольцо радиусом и шириной. Площадь этого кольца, поэтому

.

Т.к. l>>R, то на поверхности шара величину в данный момент времени можно считать постоянной.

.

Поэтому

.§

Интенсивность волны - средняя мощность, переносимая волной через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространенияволны.

.

Интенсивность электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуды напряжённости магнитного поля.

Волна, в которой вектор (и, соответственно,) колеблется в одной плоскости, называется линейно-поляризованной. В рассмотренном примере вектор совершает колебания в плоскости, образованной осями X и Z. Такая плоскость называется плоскостью поляризации волны.

В волне, соответствующей суперпозиции волн для векторов,, колебания векторов происходят с одинаковой частотой, но в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Конец вектора будет описывать в плоскости (X, Y) фигуру Лиссажу, являющуюся, в зависимости от разности фаз этих колебаний, либо эллипсом, либо отрезком прямой.

Если фигура является эллипсом, то говорят, что волна имеет эллиптическуюполяризацию, а если – отрезок прямой, то – поляризация линейная.

Интерферируют между собой поперечные волны одинаковой линейной поляризации.

Дата добавления: 2014-01-06