Основные обозначения

СПИСОК ПРИНЯТЫХ СОКРАЩЕНИЙ

АВ	– алгоритм Витерби
АК	– алгоритм Кловского
АКД (DTE)	– аппаратура канала данных
АКН	– алгоритм Кловского – Николаева
АМн	– амплитудная манипуляция
АП	– абонентский пукнкт
АЧХ	– амплитудно-частотная характеристика
БГШ	– белый гауссовский шум
БЧХ	– код Боуза – Чоудхури – Хоквенгема
ВРК (ВУ)	– временное раздалание каналов (временное уплотнение)
ГНК	– гауссовский непрерывный канал
ДС	– дискретный сигнал
ДНК	– дискретно – непрерывный канал
ИВС	– инфомационно – вычислительная сеть
ИХ	– импульсная характеристика
МОС (ISO)	– международная организация по стандартизации
МСИ	– межсимвольная интерференция
МСЭ (ITU)	– международный союз электросвязи
НБШ	– нормальный белый шум
ОМП	– отношение максимального правдоподобия
ООД (DTE)	– оконечное оборудование данных
ОП	– оконечный пункт
ОСП	– отношение сигнал/помеха (отношение средних мощностей сигнала и помехи)
ОСР	– обратная связь по решению
ОСШ	– отношения сигнал/шум
ОФМ	– относительно – фазовая модуляция
ПД	– передача данных
РУ	– решающее устройство
СКК	– сигнально – кодовая конструкция
СКО	– среднеквадратическая ошибка (отклонение)
СМО	– система массового обслуживания
СПДС	– система передачи дискретных сообщений
СПМ	– спектральная плотность мощности
СПРИ	– система передачи и распределения информации
СФ	– согласованный фильтр
ТС	– техническое средство
ТЧ	– тональная частота
ТЭС	– теория электрической связи
УС	– узел связи
ФК	– функция корреляции
ФМн	– фазовая манипуляция
ФРК	– фазовое разделение каналов
ФЧХ	– фазо – частотная характеристика
ЦСП	– цифровая система передачи
ЧМн	– частотная манипуляция
ЧРК (ЧУ)	– частотное разделение каналов (частотное уплотнение)
ШПС	– шумоподобный сигнал
ЭМВОС	– эталонная модель взаимодействия открытых систем
ЭМС	– электромагнитная совместимость

а	– реализация элемента сообщения, символ
В	– ансамбль (множество) первичных сигналов
В (t1,t2), B (τ)	– функция корреляции процесса (сигнала)
b(t)	– реализация первичного сигнала
С	– пропускная способность канала, порог принятия решения
D	– динамический диапазон
D (x)	– дисперсия случайной величины или процесса
d	– расстояние между сигнальными точками, расстояние по Хэммингу между двоичными последовательностями, минимальное расстояние по Хэммингу между комбинациями линейного кода
Е	– энергия сигнала
F (Ω), f (ω)	– частот (угловая) сигнала
f д	– частота дискретизации
∆F, ∆f	– ширина полосы частот (полосы пропускания)
G (f)	– спектральная плотность мощности
G0 (f)	– односторонняя спектральная плотность мощности (на положительных частотах)
g, g ׳	– выигрыш и обобщённый выигрыш системы
Hi	– гипотеза о принятии i – го решения
H(Х),H(X/Y)	– энтропия и условная энтропия дискретной случайной величины (дискретного источника)
	– производительность дискретного источника
	– соответственно эпсилон – энтропия и эпсилон – производительность непрерывного источника
h (t)	– импульсная характеристика линейной цепи
h (х)	– дифференциальная энтропия непрерывной случайной величины
	– отношение энергии сигнала к односторонней плотности мощности шума
I(Х)	– количество информации
I ׳ (Х)	– скорость передачи информации
	– частотная характеристика (передаточная функция или комплексный коэффициент передачи)
	– амлитудно-частотная характеристика
L	– память источника
М	– индекс модуляции
М (х), m 1	– математическое ожидание случайной величины (процесса)
m	– основание кода
N 0	– односторонняя (на положительных частотах) спектральная плотность мощности квазибелого или белого шума
n(t)	– реализация случайного процесса (шума, помехи)
n	– длина (общее число символов) кодовой комбинации
П	– пик - фактор
	– потери от принятия решений
Р	– средняя мощность сигнала
p (х), px	– вероятность события, указанного в скобках или обозначенного индексом,
р ош	– вероятность ошибки на один информационный бит
Q(x)	– интеграл ошибок (табулированный)
R	– средние потери (риск), скорость передачи информации, скорость кода
R и, R о	– коэффициенты избыточности и обнаружения кода
Rn	– относительная скорость кода
r = n - k	– число проверочных символов в кодовой комбинации блокового кода
s (t)	– случайный сигнал на входе приёмника (детектора) без учёта аддитивных помех
	– спектральная плотность по Фурье сигнала х (t)
∆t	– интервал времени (дискретизации), шаг дискретизации непрерывного сигнала во времени
∆u, ∆b	– шаг квантования по уровню
v = 1/ T	– техническая скорость передачи
W (f)	– спектральная плотность энергии
w (x, t)	– одномерная плотность вероятности случайного процесса
w	– вес кодовой комбинации
Z (t), z (t)	– сумма сигнала и аддитивной помехи (реализация) на входе приёмника (детектора)
α	– вероятность ложной тревоги
β	– вероятность пропуска цели; энергетическая эффективность системы
γ	– коэффициент передачи канала; частотная эффективность системы
ε	– ошибка оценки
η	– информационная эффективность системы
θ	– фазовый сдвиг
Λ(z)	– отношение правдоподобия
λ	– коэффициент различимости символов
μ	– коэффициент сжатия информации
ρ = Р с/ Р ш	– отношение сигнал – шум (ОСШ) по мощности
σ	– среднеквадратическое отклонение
σ ^2	– дисперсия случайного процесса
φ	– фаза сигнала при угловой модуляции
τ	– интервал между двумя сечениями процесса, задержка
æ	– коэффициент избыточности источника, кода

Точка сверху означает комплексное выражение.

Знак * сверху выражения комплексное сопряжение.

Матрицы и векторы обозначены жирным шрифтом.

Прямая черта над символом или формулой означает статистическое усреднение (по ансамблю), волнистая – по времени.

Знак над символом означает оценку, выдаваемуюдемодулятором, декодером или фильтром.

Знак над символом означает преобразование Гильберта.

Знак означает свёртку двух функций.

Знак означает сложение по модулю 2.

1. Теория помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений

Проблема помехоустойчивости связи является одной из основных в системах электросвязи. Вследствие воздействия помех принятое сообщение отличается от переданного. Степень соответствия переданного и принятого сообщения, выраженная в некоторой количественной мере, характеризует помехоустойчивость приёма сообщений. Помехоустойчивостью, в общем случае, называется способность системы противостоять вредному действию помех или, более конкретно, помехоустойчивостью системы называется ее способность сохранять показатели качества неизменными или изменяющимися лишь в допустимых пределах при действии помех. Помехоустойчивость оценивается по верности приёма сообщений при заданном отношении сигнал/помеха (ОСП) или сигнал/шум (ОСШ) и зависит как от свойств передаваемых сигналов, так и от способа приёма. Верность приёма определяется степенью сходства принятого и переданного сообщений. В системах передачи дискретной информации (букв, цифр) в результате действия помех вместо переданной последовательности сигналов b (t) может быть принята иная последовательность, т. е. возникает ошибка. Поскольку появление ошибки – случайное событие, следовательно, верность передачи характеризуется вероятностью ошибки.

Существует предельно достижимая или потенциальная помехоустойчивость. Приёмник, обеспечивающий потенциальную помехоустойчивость, называется оптимальным. Он обеспечивает для заданного ОСП наименьшую вероятность ошибки при передаче дискретных сообщений или наименьшую вероятность превышения допустимого отклонения при передаче непрерывных сообщений.

1.1. Критерии качества и правила приёма дискретных сообщений

В результате различных искажений и воздействия помех пришедший сигнал может существенно отличаться от переданного. Задачей приёмного устройства является принятие решения о том, какое из возможных сообщений действительно передавалось источником. Для этого принятый сигнал подвергается различным преобразованиям, которые называют обработкой сигнала. В результате обработки определяются условные (апостериорные) вероятности возможных гипотез и на основании этих вероят­ностей принимается решение о принимаемом сообщении. Часть приём­ного устройства, которая осуществляет анализ приходящего сигнала и прини­мает решение о переданном сообщении, называется решающим устройством (РУ).

Действие приёмника дискретных сигналов (ДС) можно представить как разбиение пространства наблюдений Z на неперекрывающиеся подпространства по числу символов m и отождествление принятого сигнала с тем символом b_k, в область которого он попадает. Графически реализации принимаемых сигналов s_i (t) и помех n (t) (длительностью T) можно изобразить точками (рис. 1.1) или соответствующими векторами на плоскости, откладываемыми от начала координат 0.

Рис. 1.1. Разбиение пространства принимаемых сигналов на

непересекающиеся области

Разбиение пространства Z на подпространства возможно различными способами. Разбиение, соответствующее некоторому критерию оптимальности, называется оптимальным разбиением, а приёмник, работающий в соответствии с таким критерием, называется оптимальным. Всякому критерию оптимальности соответствует правило (алгоритм) принятия решения, которое определяет функциональную схему приёмника.

Выбор правила решения заключается в приписывании каждой точке пространства принимаемых сигналов (концу вектора) одной из m гипотез, т.е. определённого кодового символа b_i. Пространство прини­маемых сигналов окажется при этом разбитым на m непересекающихся областей, каждая из которых соответствует принятию определённой гипотезы. В такой трактовке различные приёмные устройства отличаются друг от друга способом разбиения про­странства сигналов на области, т.е. правилом принятия решения. В двоичной системе пространство B разбивается на две непересекающиеся области и.

Если помехи отсутствуют, возможные значения z (t) изображаются точками s_i (i = 0, 1, 2,..., т - 1). При передаче сигнала с номером i при наличии помехи точка принимаемого колебания z отклоняется от точки s_i. В тех случаях, когда помеха не выводит точку z за пределы области, решение оказывается верным. В противном случае возникает ошибка. Из­меняя границы между областями, можно влиять на вероятность ошибочного приёма отдельных передаваемых символов. Всегда существует такое расположение областей, кото­рое в определённом смысле лучше всякого другого.

Полная (средняя) вероятность ошибочного приёма символа сообщения (вероятность ошибки) определяется выражением:

р _ош = 1 –

где – вероятность передачи символа, – вероятность правильного приёма символа (вероятность попадания сигнала в подпространство при передаче символа), – вероятность ошибки (вероятность попадания принимаемого сигнала в подпространство при передаче символа b_i).

В основу построения оптимального приёмника можно положить критерий минимума вероятности ошибки р _ош. Однако он имеет один существенный недостаток: не учитывает значимость ошибочных решений, которая, в общем случае, может быть различна для различных символов сообщения.

Одним из наиболее общих критериев оптимальности является критерий минимального риска (байесовский критерий). Суть его состоит в том, что каждой паре переданный символ b_i – принятый символ b_к (i ≠ k) приписываются некоторые числовые коэффициенты, учитывающие последствия выбора решения и называемые потерями. Чем более нежелательна ошибка, тем большие потери ей приписываются. С учётом этого в основу требования оптимальности можно положить минимум средних потерь или минимум риска

.

Риск минимален, когда полная вероятность ошибки минимальна или когда вероятность правильного приёма максимальна.

Действие приёмника основывается на анализе апостериорного распределения символов, которое находится по формуле Байеса

,

где – вероятность принимаемого сигнала во всем пространстве сигналов, – условная вероятность принимаемого сигнала при передаваемом символе b_i.

Вероятность передачи символа р (b_i) называется априорной. В результате анализа принятого сигнала z (t) из условных вероятностей можно найти статистическую меру правдоподобия принадлежности z (t) к классу b_i. После анализа можно вычислить апостериорную вероятность, «уточняющую» наши априорные знания. Таким образом, до передачи сигналов мы имеем некоторые априорные знания, касающиеся вероятности состояния источника сообщений, а после анализа принимаемого сигнала получаем апостериорную вероятность присутствия в нём символа b_i. Величину можно рассматривать как масштабный множитель, поскольку его значение одинаково для всех символов.

В простейшем случае передачи бинарных сигналов при наличии помех система связи состоит из источника, передающего два сигнала и (соответствующие символам b ₁ = 1 и b ₀ = 0), канала связи с помехами, которые могут преобразовывать символ 1 в 0 или 0 в 1, и приёмного устройства. РУ на выходе приёмного устройства должно определить по принятому сигналу переданное сообщение.

Символы 1 и 0 представляют два взаимно независимых состояния источника и. Априорные вероятности этих состояний р ₀ и р ₁ = 1 – р ₀ определяют статистическую структуру сообщений. Пространство наблюдений Z содержит две точки: сигналы = 0 и = 1, условные вероятности которых = 1 –, = 1 – определяются статистическими свойствами помех в канале связи. Величины и представляют вероятность того, что сигналы 0 и 1 не искажаются помехами, а и – вероятности искажений двух видов: перехода 0 в 1 и 1 в 0. Выражения для условных вероятностей можно записать в следующем виде:

– вероятность ошибки первого рода (ложной тревоги)

α = р = р { z / s₀ } =;

– вероятность правильного решения (верна гипотеза H ₀)

р = р { z /s₀} = = 1- = 1– α;

– вероятность ошибки второго рода (пропуска цели)

β = = р {z/s₁} =;

– вероятность правильного решения (верна гипотеза H ₁ – отклонение ложной гипотезы H ₀)

= р {z/s₁} = = 1 – = 1 – β,

где – условная плотность вероятности распределения уровня входного сигнала z при условии передачи сигнала s_i, i = 0,1.

Правило решения предписывает РУ, какое из двух решений (передано сообщение 0) или (передано сообщение 1) оно должно выбирать при наблюдении сигнала z (t). Функция потерь в этом случае представляет собой матрицу, элементами которой является «плата» или «выигрыши»:

– П₀₁ за ошибку первого α;

– П₁₀ за ошибку второго рода β;

– П₀₀ и П₁₁, за принятие правильных решений (П₀₀ < П₀₁ и П₁₁ < П₁₀, иногда полагают П₀₀ = П₁₁ = 0):

γ₀ γ₁

.

В матрице потерь строки соответствуют гипотезам Н ₀ (передан символ 0) и Н ₁ (передан символ 1), а столбцы – решениям и. По главной диагонали расположены расходы на правильные решения, а по побочной – платы (потери) за ошибочные решения.

Среднее значение потерь (средний риск) равно

R = р ₀ r ₀ + p ₁ r ₁ ,

где r ₀ = П₀₀ р (s₀/s₀) + П₀₁ р (s₁/s₀) = П₀₀ (1 – α) + П₀₁ α;

r ₁ = П₁₀ р (s₀/s₁) + П₁₁ р (s₁/s₁) = П₁₀ β + П₁₁ (1 – β) – условные риски, соответствующие сигналам s ₀ и s ₁.

В качестве критерия для оптимального правила выбора решений примем достижение минимальной величины среднего риска R. В данном случае зависимость среднего риска R от области принятия решения выражается через величины α и 1– β, подставив которые в последнее выражение, получим

где С – порог принятия решения.

Для определения величины z = С, при которой средний риск R минимален, вычислим и приравняем её к нулю при z = C

откуда

= ∙,

где функция – неотрицательная случайная величина, называемая отношением или коэффициентом правдоподобия, а ∙ = С – порог принятия решения.

Значение С позволяет оптимальным образом (в смысле минимума среднего риска) разделить пространство принимаемых сигналов B на области B ₀ (принимается гипотеза Н ₀) и B ₁ (принимается гипотеза Н ₁): в область пространства выборок включаются только те точки, для которых

∙, (1.1)

Таким образом, оптимальное правило, основанное на критерии минимального среднего риска, или байесовское решение, формулируется следующим образом: принимается решение (принимается гипотеза Н ₁), если для наблюдаемой выборки (сигнала) выполняется неравенство (1.1), и принимается решение (утверждается справедливость гипотезы Н ₀), если выполняется неравенство, противоположное (1.1). В общем виде данное условие можно записать в следующем виде

. (1.2)

В общем случае при использовании m - позиционного кода решение принимается в результате решения m – 1 неравенств вида (1.2) в пользу того символа, для которого отношение правдоподобия максимально.

Применение байесовского критерия требует большого объёма априорных сведений о канале связи w (z/b_i), источнике сообщений p (b_i), а также о потерях, которые не всегда имеются на практике.

Наряду с байесовским критерием качества существует и ряд других (максимума апостериорной вероятности, максимума правдоподобия, Неймана – Пирсона, минимаксный). Все они базируются на единообразной процедуре принятия решения: по наблюдаемой выборке z = (z₁, …, z_n) фиксированного размера n вычисляется отношение правдоподобия (z) и принимается гипотеза Н, для которой это отношение выше некоторого фиксированного порога, устанавливаемого заранее в соответствии с принятым критерием. Пороги, с которыми сравнивается отношение правдоподобия для различных критериев, приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Величина порога принятия решения для некоторых критериев качества

Критерий	Априорно известные параметры	Порог С	Средний риск R
Байесовский (минимального риска)	p 0, p 1,		р 0 r 0 + p 1 r 1
Котельникова (максимума апостериорной вероятности, идеального наблюдателя)	p 0, p 1, П10 = П01 = П, П00 = П11 = 0		(р 0 α + р 1 β)П
Максимума правдоподобия	p 0 = p 1, П10 = П01 = П, П00 = П11 = 0		0,5(α + β)П

Процедура принятия решения двоичным приёмником на примере типичных условных плотностей вероятности иллюстрируется рис. 1.2.

В отличие от рассмотренных выше решений согласно критерию Неймана – Пирсона выбирается правило, обеспечивающее минимально возможную величину вероятности при условии, что вероятность, т.е. порог С в (1.2) выбирается из условия

.

Рис. 1.2 – Типичные условные плотности вероятностей для

двоичного приёмника

Данный подход к проблеме оптимального приёма сигналов может быть применён для широкого класса сигналов, помех и каналов. Наиболее просто задача оптимального приёма решается для канала с постоянными параметрами и аддитивной нормальной флюктуационной помехой типа белого шума. Теория потенциальной помехоустойчивости позволяет определить помехоустойчивость оптимального приёмника и синтезировать его функциональную схему для случая, когда форма передаваемых сигналов точно известна на приёмной стороне, а значимость всех ошибок одинакова. Эта помехоустойчивость называется потенциальной, потому что её не может превзойти никакой другой приёмник. Для заданного ОСП он обеспечивает наименьшую вероятность ошибки при приёме дискретных сообщений или наименьшую вероятность превышения допустимого отклонения при передаче непрерывных сообщений.

1.2. Оптимальный приём в дискретно-непрерывном канале без искажений при наличии аддитивного белого шума

На вход приёмного устройства поступает реализация случайного сигнала, представляющего смесь переданного полезного сигнала и случайной помехи

, (1.3)

Решающее устройство в общем случае должно идентифицировать принятый сигнал с одним из m (m >2) сигналов с известными характеристиками. К числу таких задач относится распознавание символов кода с основанием более двух.

По характеру полезных сигналов можно выделить следующие классы задач приёма:

1) приём сигналов с известными параметрами на фоне шума (цифровые системы связи при наличии синхронизации, командные радиолинии др.);

2) приём сигналов с неизвестными параметрами на фоне шума (цифровые системы связи без канала синхронизации);

3) приём случайных сигналов на фоне шума (радиоастрономия, радиоразведка).

Принятие решения в любой из перечисленных задач осуществляется в результате сравнения отношения правдоподобия с порогом С, величина которого определяется принятым критерием.

1.2.1. Корреляционный приёмник

Найдем выражение для в случае детерминированных сигналов и помехи п (t), представляющей НБШ, спектр которого ограничен в пределах полосы (квазибелый шум). В этом случае реализации шума п(t) в соответствии с теоремой Котельникова могут быть заданы дискретной выборкой (n ₁, n ₂,..., п_т) с интервалом между отсчетами,. Поскольку все эти отсчеты являются независимыми случайными величинами, многомерный нормальный закон распределения, определяющий плотность вероятности шума может быть представлен в виде

(1.4)

Условная плотность вероятности появления реализации входного сигнала соответствует плотности вероятности реализации шума Дискретные отсчеты этой реализации шума, а соответствующая m -мерная плотность вероятности равна

. (1.5)

Тогда при m = 2:

(1.6)

где – спектральная плотность шума.

С учетом этого выражения критерий принятия решения о выборе гипо­тезы по известной реализации входного сигнала принимает вид

ln С. (1.7)

В общем случае при m > 2 решающая схема выбирает значение i, соответствующее максимальному.

При достаточно большой ширине полосы и соответственно малом сумму можно заменить интегралом и записать этот критерий в виде

ln С. (1.8)

Таким образом, в случае приёма сигналов на фоне белого шума алгоритм принятия решения сводится к сравнению расстояний в пространстве сигналов между принятой реализацией и передаваемыми сигналами и.

Рассмотрим пример синтеза оптимального приёмника двоичных цифровых сигналов в каналах с аддитивным белым шумом при, и (критерий максимума правдоподобия, С = 1), для которого из (1.8) следует:

0. (1.9)

Рассмотрим две системы передачи символов:

а) с пассивной паузой: символ 1 передаётся сигналом длительностью Т с энергией Е, а символу 0 соответствует отсутствие этого сигнала на интервале длительностью Т [ ];

б) с активной паузой: символы 1 и 0 передаются различными сигналами и одинаковой длительности Т и энергии Е =

В первом случае критерий принятия решения (1.9) принимает вид

или. (1.10)

В общем случае при m > 2 правило приёма сводится к проверке системы неравенств

i ≠ j, (1.11)

где – энергия сигнала.

Устройство, вычисляющее скалярное произведение (корреляционный интеграл) называют активным фильтром или коррелятором, а приёмник, реализующий алгоритм (1.11) – корреляционным. Структурная схема такого приёмника для m = 2 приведена на рис. 1.3. Решающее устройство (РУ) в моменты времени, кратные Т определяет номер ветви i (i = 0, 1) с максимальным сигналом. При m > 2 в схеме корреляционного приёмника растёт соответственно число ветвей обработки сигнала.

∫

∫  

s₁

s₀

    РУ

z(t)

E ₁/2

E ₀/2

к декодеру

i

Рис. 1.3. Структурная схема корреляционного приёмника

Алгоритм приёма и соответствующая схема приёмника упрощаются, если все сигналы имеют одинаковые энергии (Е _i = E = = const) (отпадает необходимость в вычитающих устройствах), т.е.

Прибавив в выражении (1.11) к обеим частям неравенства одинаковую величину и умножив левую и правую части на минус 2 (знак неравенства меняется на обратный), получим алгоритм, эквивалентный (1.11):

(1.12)

Структурная схема приёмного устройства, работающего в соответствии с этим алгоритмом, представлена на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Структурная схема оптимального приёмника на квадраторах

Все методы приёма, для реализации которых необходимо точное априорное знание начальных фаз приходящих сигналов, называют когерентными. Приём называют квазикогерентным, если сведения о начальных фазах принимаемых сигналов извлекаются из самих принимаемых сигналов. Если же сведения о начальных фазах приходящих сигналов отсутствуют или их не используют, то приём называют некогерентным.

1.2.2. Оптимальный приёмник с согласованным фильтром

Скалярное произведение можно вычислить не только с помощью ак­тивного фильтра (коррелятора), но и с помощью пассивного линейного фильтра с постоянными параметрами. Отклик такого фильтра в момент времени на входной сигнал будет, где – ИХ фильтра. Для того чтобы в момент времени получить значение, равное скалярному произведению, необходимо обеспечить следующее согласование или льный гласованным фильтрамнными фильтрамиФильтр, обладающий такой ИХ Линейный пассивный фильтр с постоянными параметрами и ИХ где a, t ₀ – постоянные, называется согласованным фильтром (СФA)) о, для сигнала s (t). Функция h (t) является зеркальным отображением s (t) относительно оси, проведённой через точку (рис. 1.5).

а) б)

Рис. 1.5. Сигнал (а) и ИХ СФ (б)

Частотная характеристика СФ с требуемой ИХ определяется преобразованием Фурье

(1.13)

где – функция, комплексно-сопряжённая со спектральной плотностью сигнала

Следовательно, с точностью до коэффициента а АЧХ СФ определяется амплитудным спектром сигнала s (t) (т.е. фильтр лучше передаёт те частоты, которые дают больший вклад в энергию сигнала), а его ФЧХ (без учёта слагаемого определяемого задержкой) обратна по знаку фазовому спектру сигнала s (t). Благодаря этому в момент все составляющие спектра принимаемого сигнала складываются в фазе и дают максимальный отклик.

В момент времени Т напряжение на выходе СФ пропорционально сигналу на выходе интегратора активного фильтра в схеме рис. 1.3. Поэтому приёмник, реализующий алгоритм (1.11), может быть выполнен и на базе СФ. Структурная схема такого приёмника для двоичной системы показана на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Оптимальный приёмник на основе СФ

Отклик СФ на финитный сигнал длительностью Т, поданный на вход в момент времени t = 0, существует лишь на финитном интер­вале протяжённостью 2 Т. Отклик СФ на сигнал, с которым он согласован, равен

(1.14)

где – ФК сигнала s (t) при аргументе.

Для финитного сигнала она определена на интервале (0, 2 Т) и имеет максимум в точке t = t ₀ = Т. Формы полезного сигнала на входе и выходе СФ, как правило, существенно отличаются друг от друга. Задачей СФ является не восстановление формы сигнала, искажённой шумом, а получение одного отсчёта, по которому можно судить о присутствии или от­сутствии на входе СФ сигнала известной формы. Отношение пиковой мощности сигнала к мощности шума на выходе СФ определяется соотношением:

(1.15)

где – отношение энергии сигнала длительностью Т к спектральной плотности шума на положительных частотах.

Определим ОСШ по мощности

(1.16)

где, – отношение мощности сигнала к мощности шума соответственно на входе и выходе приёмника; ∆ F _к – ширина полосы пропускания канала.

При совпадении ширины полосы пропускания канала с шириной спектра сигнала ∆ F _к = ∆ F _с имеем:

. (1.17)

Отсюда вытекает целесообразность выбора сигналов с большой базой 2∆ F _с T для передачи дискретных сообщений, что позволяет увеличить ОСШ при согласованной фильтрации.

1.3. Потенциальная помехоустойчивость при точно известном множестве сигналов

Получим математические выражения для вероятности ошибки приёма различных систем связи и сравним их помехоустойчивость.

1.3.1. Вероятность ошибки приёма для двоичной системы сигналов при белом гауссовом шуме

Система с пассивной паузой. Критерий максимума правдоподобия для такой системы имеет вид:

.

Распознавание символов двоичного кода с пассивной паузой сводит­ся к сравнению корреляционного интеграла с пороговым значением, равным половине энергии сигнала.

Вероятность = трансформации 0 в 1 есть вероятность того, что случайная величина, соответствующая левой части этого выражения при отсутствии в принятой реализации сигнала, т. е. при, будет больше Е ₁/2. Случайная величина представляет собой линейное преобразование нормального стационарного белого шума с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью мощности N ₀. Следовательно, она является центрированной случайной величиной с нормальным законом распределения

(1.18)

где

Вероятность того, что случайная величина превысит порог Е ₁/2, равна

(1.20)

где – табулированный гауссов интеграл ошибок,.

Вероятность трансформации единицы в нуль представляет веро­ятность того, что случайная величина Z ₁ = при будет меньше Е ₁/2. Случайная величина Z ₁ может быть представлена в виде

(1.21)

Условие эквивалентно условию, т.е.:

(1.22)

Таким образом, =, а сам двоичный дискретный канал является симметричным. Равенство вероятностей и является прямым следствием критерия идеального наблюдателя, исходя­щего из равнозначности обеих ошибок.

Система с активной паузой. В случае передачи обоих символов сигналами и с одинако­вой энергией Е (двоичный код с «активной» паузой) при С = 1 критерий принятия решения принимает вид

(1.23)

или (1.24)

Решение принимается в пользу того символа, для которо­го корреляционный интеграл принимает большее значение. В этом случае есть вероятность того, что при передаче сигнала левая часть (1.23) превысит нуль, а – вероятность того, что при передаче сигнала левая часть (1.23) будет меньше нуля. При передаче сигнала левая часть (1.23) будет представлять не­которую случайную величину равную:

(1.25)

где – коэффициентом различимости символов,

Если сигналы и тождественны (символы неразличимы), то = 0. При передаче сигнала левая часть (1.23) будет представлять слу­чайную величину, равную

(1.26)

Из (1.26) и (1.26) следует, что условия > 0 и < 0, представляю­щие условия трансформации символов, эквивалентны условиям > при трансформации 0 в 1 и < при трансформации 1 в 0. Из сравнения и видно, что случайная величина полу­чается из заменой на. Поэтому дисперсия нормаль­ной случайной величины равна

Вероятности трансформации символов по аналогии с (1.20) равны

(1.28)

1.3.2. Сравнительная оценка помехоустойчивости АМ, ЧМ, ФМ - сигналов

Коэффициент различимости символов является мерой расстояния между сигналами в пространстве Гильберта. Расстояние между сигналами и при совмещении интервалов их существования Т определяется выражением (рис. 1.7)

(1.29)

Рис. 1.7. Расстояния между сигналами двоичных систем связи

с АМн (а), ЧМн (б) и ФМн (в)

При = 0 правая часть этого выражения обращается в нуль, что соответствует совпадению сигналов (сигналы неразличимы). Максимальное значение = 2 получается при строго противофазных сигналах и и соот­ветствует максимальному расстоянию между ними (максимальной раз­личимости). Из формулы (1.28) видно, что чем больше (лучше различимость сигналов), тем меньше веро­ятность трансформации двоичных символов при том же отношении сигнала к шуму E/N ₀. При = 2 а при = 0 что соответствует «гаданию вслепую».

Имеется простая связь между значением коэффициента различимости и выбором вида манипуляции несущей для передачи двоичных симво­лов. При различении символов с использованием фазовой манипуляции несущей на, когда сигналы и противофазны, = 2. Вероятность трансформации символов при этом минимальна и определяется формулой (1.28) при = 2. При частотной манипуляции, когда разность частот много больше величины 1/ Т и сигналы и на интервале Т можно считать ортогональными, коэффициент различимости = 1. При этом вероятность трансформации символов т.е. больше, чем при фазовой манипуляции, но меньше, чем для двоичного кода с пассивной паузой (1.20).

Полученные результаты имеют наглядную геометриче­скую интерпретацию. В известном правиле принятия решения оптимальным приёмником, использующим критерий максимума правдоподобия (С = 1)

0. (1.30)

левую часть можно представить в виде:

где представляет квадрат расстояния между сигналами и в пространстве сигналов.

Следовательно, логарифм отношения правдоподобия при помехе в виде аддитивного белого шума пропорционален разности квадратов рас­стояний между входным сигналом и каждым из передаваемых сигна­лов и. Критерий (1.30) означает, что выбирается тот из вари­антов обнаруживаемых сигналов, которому соответствует меньшее рас­стояние до данной реализации сигнала.

Формула для вероятностей трансформации символов двоич­ного цифрового кода с активной паузой с учетом (1.29) будет иметь вид

. (1.31)

Формула (1.20), определяющая вероятность трансфор­мации символов двоичного цифрового кода с пассивной паузой, также может быть представлена в аналогичном (1.31) виде. В этом случае = 0, расстояние между сигналами, где Е ₁ – энергия сигнала и, следовательно, аргумент функ­ции Q в (1.20) также равен.

Таким образом, при обнаружении бинарных равновероятных сигна­лов с использованием критерия идеального наблюдателя распознавание символов сводится к оценке близости отображающего их сигнала к приня­той реализации. Мерой помехоустойчивости символов служит поло­вина расстояния между обнаруживаемыми сигналами, так как трансформация символов наступает в том случае, когда реализация, из-за действия помехи, отличается от переданного сигнала более чем на 0,5, и ближайшим к принятой реализации окажется не передан­ный, а другой сигнал.

При наличии синхронизации, обеспечивающей определение начала приёма очередного символа, решающая схема может быть реализована с исполь­зованием коррелятора, вычисляющего корреляционные интегралы, вхо­дящие в критерии принятия решения, и устройства сравнения (порогового устройства). При использовании двоичного кода с пассивной паузой значение корреляционного интеграла сравнивается с уровнем Е ₁ / 2, а при использовании кода с активной паузой срав­ниваются значения корреляционных интегралов для принимаемых сигналов.

Вероятности ошибки для двоичной АМн, ЧМн и ФМн приведены в таблице 1.2. Из анализа приведенных данных следует, что в двоичном канале с постоянными параметрами и аддитивным БГШ оптимальной является система с противоположными сигналами, например ФМн с разностью фаз сигналов (противофазные сигналы).

Таблица 1.2

Помехоустойчивость АМн, ЧМн и ФМн сигналов при когерентном приёме

Вид манипуляции	АМн с пассивной паузой	ЧМн с ортогональными сигналами	ФМн с противофазными сигналами
Характеристики сигналов			, i = 0, 1
Вероятность ошибки
Коэффициент различимости символов	0,5
Расстояние между сигналами

1.3.3. Относительная фазовая модуляция

Практическая реализация демодулятора для когерентного приёма ФМн встречает определённые трудности. При использовании в демодуляторе активных фильтров возникает проблема поддержания равенства фаз опорного генератора и приходящего сигнала, а при использовании СФ – возникает не менее трудная за­дача взятия когерентного отсчёта. В практических схемах опорный сигнал s_i (t) формируется из принимаемого сигнала. Для этого необходимо по принимаемому сигналу восстановить немодулированный гармонический сигнал. Эта задача становится особенно трудной при ФМн, так как в спектре ФМн сигнала не со­держится составляющей с частотой при равновероятных элементах. Для получения опорного сигнала используют нелинейные устройства снятия модуляции, одной из разновидностей которых является схема А.А. Пистолькорса. Схема содержит умножитель частоты на 2, выходной сигнал которого через узкополосный фильтр, настроенный на частоту 2, поступает на делитель частоты на 2. Если сигнал на входе умножителя записать в виде k = 0 или k = 1, то сигнал на выходе умножителя, а сигнал на выходе делителя Однако, вследствие неоднозначности операции деления на 2 фаза вы­ходного сигнала делителя может принять любое из двух значений: 2 /2 = или (2 + 2π)/2 = = + π. Это означает, что символы, регистрируемые на вы­ходе приёмника, даже при отсутствии аддитивной помехи в канале [ z (t) =, после случайного перескока фазы опорного сигнала инвертируются (0 бу­дут записаны как 1, а 1 – как 0). Это будет продолжаться до следующего пере­скока фазы опорного сигнала. Возникает так называемое явление обратной ра­боты. Этот эффект устраняется при переходе к относительным методам модуляции, предложенным Н.Т. Петровичем. Они сводятся к модуляции информационного параметра передаваемой посылки элемента сигнала относительно того же параметра предшествующей посылки. При относительной фазовой манипуляции (ОФМ) сообщение содержится не в абсолютном значении фазы элемента сигнала, а в разности фаз двух соседних элементов, при этом символ 1 передаётся повторением той реализации сигна­ла, которая имела место в качестве предыдущего элемента, а символ 0 – реа­лизацией с обратной фазой, либо наоборот.

Сигналы ОФМ могут приниматься различными методами. На рис. 1.8 представлена схема оптимального квазикогерентного приёмника сигналов ОФМ методом сравнения полярностей (без устройства под­стройки фазы опорного генератора Г, которое может быть выполнено по схеме Пистолькорса). Так как ОФМ – система с равной энергией от­дельных позиций, то пороговый уровень в демодуляторе нулевой – и решаю­щее устройство превращается в дискриминатор полярности (ДП). Полярности соседних элементов сравниваются в схеме сравнения полярностей (ССП). Символ 1 регистрируется на выходе приёмника, например, при совпадении полярностей двух соседних посылок, символ 0 – если эти полярности различны, либо наоборот. При таком методе приёма перескок фазы опорного сигнала (при отсутствии помехи в канале) вызывает ошибку только в одном символе. Последующие же символы регистрируются правильно, т.е. явление «обратной работы» не возникает.

Рис. 1.8. Схема оптимального приёма сигналов ОФМ

Ошибочная регистра­ция символа при приёме данным методом при воздействии флюктуационной помехи возможна в результа­те одного из двух несовместных событий:

а) знак данного элемента принят ошибочно, а знак предыдущего – верно;

б) знак данного элемента принят верно, а знак предыдущего – ошибочно.

Каждое из этих событий имеет вероятность. Таким образом:

. (1.32)

В нормальных условиях эксплуатации, когда требуется р _ФМ << 1:

, (1.33)

т. е. «платой» за устранение обратной работы является удвоение вероятности ошибки, обусловленной шумом в канале.

При рассматриваемом методе приёма сигналов ОФМ обра­зующийся дискретный канал является марковским. Вероятность ошибки в нём зависит от того, правильно или ошибочно приняты предыдущие символы. Подавляющее большинство ошибок группируется по две.

1.3.4. Вероятность ошибки при многопозиционных сигналах

Для недвоичных систем (т > 2) нахождение вероятности ошибочного приёма р_т в общем случае затруднено, вследствие необходимости анализа совокупность из (т – 1) неравенств (1.11)

i ≠ j.

Вероятность ошибки в m -ичной системе при передаче сигнала определя­ется вероятностью объединения событий

.

При оптимальном когерентном приёме в канале с БГШ.

Для ортогональной системы сигналов с равной энергией (система оказыва­ется также эквидистантной – все сигнальные точки находятся на одинаковом расстоянии друг от друга) вероятность ошибки р_т (одинаковая при передаче любого символа) выражается следующим интегралом

(1.34)

т.е. вероятность ошибки монотонно падает с ростом ОСШ.

При т = 2 из этого выражения следует.

В детерминированном неискажающем канале с БГШ оптимальной (обеспечивающей минимальную вероятность ошибки при заданном значении E/N₀) оказывается эквидистантная система, сигнальные точки которой обра­зуют многомерный симплекс (они лежат на одинаковом расстоянии друг от друга в (m-l) -мерной гиперсфере). Вероятность ошибки для этой оптимальной сис­темы сигналов можно в области малых ошибок также определить формулой (1.34).

Учитывая, что вероятность объединения событий (в общем случае совместных) равна сумме вероятностей отдельных событий минус вероятности совмещения событий, можно получить простую формулу (аддитивную верхнюю границу для вероятности ошибки или неравенство Буля)

,

где р [ A_j > A_i ] – это вероятность ошибки в двоичной системе с сигналами и.

Для систем равновероятных ортогональных сигналов равной энергии канал симметричен и вероятность ошибки можно оценить простым неравенством

.

1.4. Оптимальный приём в каналах с межсимвольной интерференцией

В современных условиях при быстро растущих требованиях к объёму и скорости передачи информации особое значение приобретает повышение эффективности использования имеющихся линий и каналов связи. В силу действия помех идругих мешающих факторов количество информации, которое может быть передано по любому реальному каналу в единицу времени v всегда конечно и имеет предел, равный пропускной способности канала С. По мере приближения скорости v к С техническая реализация передачи и приёма сигналов существенно затрудняется. При передаче дискретных сообщений последовательными методами одной из основных причин, затрудняющих практическое использование высоких скоростей передачи, является межсимвольная интерференция (МСИ). Сущность этого явления состоит в следующем.

При указанных методах отдельные символы дискретного сообщения передаются последовательно друг за другом элементами сигнала определенной формы (например, символы 0 и 1 передаются прямоугольными импульсами со значениями и) с некоторым тактовым интервалом Т. Если канал не является идеальным, т.е. не имеет равномерную АЧХ и линейную ФЧХ в полосе частот спектра сигналов (так обычно и бывает на практике), то форма сигналов при передаче искажается, а их длительность – увеличивается (это явление называют временным рассеянием или дисперсией сигнала). В результате принятый элемент сигнал может иметь длительность и накладываться на последующие элементы В этом случае приём символов, соответствующих каждому из этих элементов, оказывается зависящим от предшествующих элементов. Это явление наложения элементов сигнала называют межсимвольной интерференцией, а обусловленную ей зависимость (в вероятностном смысле) между принятыми символами – памятью канала. Количественно память характеризуется числом соседних элементов сигнала, на которые распространяется МСИ

(1.35)

где int – знак целой части.

Например, при

МСИ и память канала существенно зависят от скорости передачи. При заданной скорости v каждый элемент сигнала на передающей стороне имеет длительность. При этом ширина спектра сигнала ∆. Если полоса пропускания канала соответствует условиям неискаженной передачи ∆, временное рассеяние невелико и МСИ отсутствуют. С увеличением скорости тактовый интервал и длительность сигнала на передающей стороне уменьшаются, спектр сигнала расширяется, возрастает его ограничение и фазовые искажения в канале, а поэтому увеличивается длительность реакции. Вместе с уменьшением это приводит к резкому возрастанию числа соседних элементов, на которые распространяется МСИ, т.е. памяти.

При память канала может составлять порядка нескольких единиц, с увеличением до она уже составляет несколько десятков. Значениеназывается границей Найквиста, при превышении которой приём сигналов резко усложняется. Межсимвольная интерференция особенно велика в каналах с многолучёвым распространением сигналов.

Таким образом, повышение эффективности использования пропускной способности канала с ограниченной полосой пропускания за счёт увеличения скорости передачи требует применения алгоритмов приёма, учитывающих наличие МСИ. Такие алгоритмы значительно сложнее обычного алгоритма поэлементного приёма в каналах без памяти.

1.4.1. Методы приёма в каналах с МСИ

Рассмотрим несколько методов приёма сигналов в каналах с МСИ, отличающихся степенью сложности практической реализации.

Коррекция характеристик канала. Этот метод наиболее распространён на практике и предполагает включение на входе приёмника корректирующих звеньев (эквалайзеров), частично выравнивающих характеристики канала. Од­нако полная коррекция, как правило, нереализуема, а при изменении характеристик канала во времени (например, в каналах с замираниями) необходимо соответственно перестраивать корректор, что усложняет его реализацию. Кроме того, этот метод приёма не является оптимальным.

Приём в целом. Этот метод предполагает обработку сигнала, соответствующего всему пакету сообщения. Если пакет содержит n двоичных сигналов, то при приёме необходимо обрабатывать альтернативных вариантов сигнала. Уже при n = 10 N = 1024. Поэтому при больших n техническая реализация этого метода очень сложна.

Приём с обратной связью по решению и обработкой на тактовом интервале (алгоритм Кловского). При приёме некоторого символа пакета сигнал на входе приёмника имеет вид

(1.36)

где принимаемым считается символ (-ый от начала пакета), а слагаемые с соответствуют ранее принятым символам.

Поскольку решения, принятые демодулятором относительно принятых ранее символов уже известны, эту часть сигнала, зная ИХ канала, можно сформировать на приёмной стороне и вычесть из суммы (1.36). Такая операция получила название обратной связи по решению ( ОСР). В результате вычитания остаётся

(1.37)

Этот сигнал на интервале передачи символа уже свободен от МСИ, а на последующих – образует некоторую зависящую от сообщения помеху. Это позволяет (с потерей некоторой части энергии сигнала) использовать алгоритм обработки входной смеси на указанном тактовом интервале аналогичный алгоритму обработки сигналов в канале без памяти. Такой алгоритм впервые предложен Д. Д. Кловским и назван по его имени – алгоритм Кловского (АК).

Приём в целом с поэлементным решением – алгоритм Кловского – Николаева. Этот способ приёма является модификацией предыдущего и предусматривает обработку входной смеси не на одном, а на нескольких тактовых интервалах в пределах памяти канала, т.е. на интервале анализа. В интервал обработки попадают символы, следующие за принимаемым, решение о которых еще не принято. Они играют роль, так называемых, мешающих параметров. Один из подходов к приёму в условиях априорной неопределенности относительно мешающих параметров базируется на близком к оптимальному правиле обобщенного максимального правдоподобия (ОМП). В рассматриваемой задаче максимум функции правдоподобия ищется по всем цепочкам символов, а решение принимается только относительно первого из них:

(1.38)

Такой алгоритм называют приёмом в целом с поэлементным решением (ПЦПР). Для приёма в каналах с МСИ он впервые предложен Д. Д. Кловским и Б. И. Николаевым и носит их имя (АКН).

Если приём сигналов осуществляется на фоне БГШ, это правило (1.38) реализуется путём минимизации квадратического функционала

(1.39)

т. е.. (1.40)

Реакция канала на единичный элемент сигнала, которую необходимо знать для реализации этого алгоритма, определяется с помощью специальных зондирующих импульсов, передаваемых в паузах между информационными пакетами, или другими способами.

Использование ОСР основано на допущении, что предшествующие символы приняты без ошибок, т.е. вероятность ошибки считается пренебрежимо малой. Такая ОСР называется идеальной. В системе с реальной ОСР надо считаться с тем, что некоторые из предшествующих символов – ошибочные, поэтому вычитание реакции из них может не только не улучшить, а даже ухудшить приём следующих символов, т.е. произойдёт размножение ошибок. Поскольку при достаточно малой вероятности ошибки р вероятность такого события тоже мала, в среднем реальная ОСР обычно обеспечивает повышение помехоустойчивости.

1.4.2. Оптимальный приём в каналах с МСИ

Для синтеза алгоритма оптимального приёма в конкретных условиях необходимо располагать определенной вероятностной моделью последовательности принимаемых символов. Обычно она рас­сматривается как некоторая многомерная марковская цепь, а задача приёма сводится к оценке её состояния. Один из распространенных методов её решения, известный как алгоритм Витерби (АВ), основан на идее рекуррентного выбора оптимального пути на графе. АВ обеспечивает примерно ту же помехоустойчивость, что и АКН. Отличие АВ от АКН заключается в количестве отсчётов входного сигнала, используемого для вынесения решения о и, как следствие, в задержке решения. В общем случае АВ характеризуется переменной задержкой решения и различной глубиной принятия решения для различных элементов сигнала.

При удельной скорости передачи 5 бит/с на 1 Гц полосы энергетический проигрыш АВ по сравнению с оптимальным поэлементным приёмом сигналов ФМ без МСИ составляет всего 1 дБ. Однако этот алгоритм сложен в реализации.

Внедрение методов приёма сигналов с МСИ позволяет существенно повысить эффективность использования каналов связи. Так, в полосе канала ТЧ (3,1 кГц) без МСИ обычно организуют 24 канала тонального телеграфирования с полосой 120 Гц и скоростью 50 бит/с, т.е. удельная скорость передачи составляет 0,417 бит/с/Гц. При использовании описанных методов приёма скорость передачи по каналу ТЧ удаётся повысить до 14400 бит/с и более, что соответствует удельной скорости порядка 2 и более бит/с/Гц. Это означает, что пропускная способность канала используется в 5-6 раз эффективнее.

1.4.3. Помехоустойчивость в каналах с МСИ

Строгий анализ помехоустойчивости АКН или АВ затруднён. Вероятность ошибочного приёма равновероятных независимых двоичных сигналов в многолучёвом детер­минированном радиоканале с МСИ в области малых ошибок равна

, (1.41)

где – интеграл ошибок.

Обработка сигна­ла даже при отсутствии МСИ на интервале (п – длина кодовой комбинации) и при­ём решения в пользу той или иной разрешённой кодовой комбинации (приём в целом) может повысить качество передачи, если используется избыточный код и, следовательно, кодовые символы взаимосвязаны (даже в канале без памяти). Такая обработка учиты­вает информацию о непрерывном сигнале при принятии решения о кодовой комбинации (сообщении первичного алфавита). Если же на декодер поступают дискретные решения демодулятора (а часть из них могут быть ошибочными) и он принимает решение о кодовой комбинации, не используя информацию о (такое решение называют жёстким), то часть возможной информации оказывается потерянной, что ведёт к понижению качества.

1.5. Оптимальный приём при неопределённой фазе и амплитуде сигнала (некогерентный приём).

Амплитуда и начальная фаза принимаемых сигналов, прошедших через реальные каналы связи (особенно радиоканалы), флюктуируют. При относительно быстрых (по сравнению с длительностью посылки Т) замираниях сигнала по результатам приёма предыдущих элементов нельзя определённо судить о значениях амплитуд и фаз последующих элементов. В этом случае применение когерентного метода приёма сигналов становится невозможным.

Найдём оптимальный алгоритм приёма в этих условиях. Однолучёвый гауссовский канал с общими замираниями описывается моделью

где Y (t) – реакция канала с коэффициентом передачи на случайное воздействие X (t), – время распространения сигнала в канале, и флюктуируют.

Реакцию такого канала на узкополосный сигнал где и – медленно меняющиеся функции, можно представить в виде

где – фазовый сдвиг в канале, равномерно распределённый на интервале [0, 2π]; – процесс, сопряжённый с Х (t) по Гильберту.

Алгоритм оптимального приёма в условиях флюктуации как фазы, так и амплитуды сигнала можно получить (на основе правила максимального правдоподобия), вычисляя математическое ожидание отношения правдоподобия по и:

, (1.42)

и сравнивая их между собой при различных индек­сах i. Учитывая независимость и, это выражение можно представить в виде

. (1.43)

Первый интеграл в этом выражении представляет математическое ожидание отношения правдоподобия по фазе

(1.44)

где, – энергия i -го сигнала на входе канала,,,,, – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

С учётом полученного результата выражение (1.43) можно представить в виде

. (1.45)

Для систем с равной энергией сигналов это выражение определяется соотношением, соответствующим алгоритму оптимального некогерентного приёма сигналов со случайной фазой, j ≠ i,. Оптимальный алгоритм для приёма сигналов с неопределённой фазой не зависит от амплитуды (коэффициента) и, следовательно, остаётся оптимальным при любом законе распределения амплитуд. При этом помехоустойчивость приёма существенно зависит от распределения.

Безусловная вероятность ошибки при

Дата добавления: 2014-01-07