Многопроводные системы с электромагнитными связями

Многопроводной системой называют либо одну многопроводную линию связи или электропередачи, либо коридор многопроводных линий, между которыми имеется емкостная и индуктивная связь, которой нельзя пренебречь.

Пусть имеется многопроводная система, состоящая из (n+1) проводников:

Для описания текущего электрического состояния данные многопроводные системы в некотором контрольном сечении достаточно знать n напряжений и n токов. Здесь все напряжения будем отсчитывать относительно последнего провода, этот провод будем считать общим. Остальные провода будем считать сигнальными.

Если пренебречь поверхностным эффектом и эффектом близости в проводниках, а также диэлектрическими и магнитными потерями в изоляции, то всю совокупность электромагнитного процесса в этой системе можно описать системой телеграфных уравнений в матричной форме:

(1)

Здесь обозначена - матрица-столбец мгновенных значений напряжений между сигнальными проводниками и общим проводником в контрольном сечении системы с координатой x, размер матрицы .

- матрица-столбец мгновенных значений токов сигнальных проводников в контрольном сечении, размер матрицы .

- квадратная матрица сопротивлений на единицу длины петель, образуемых каждым сигнальным проводом и общим проводом, размер матрицы , .

На главной диагонали здесь стоит сопротивление на единицу длины этих петель, а вне главной диагонали везде стоит сопротивление общего провода на единицу длины.

- квадратная матрица собственных и взаимных индуктивностей на единицу длины контуров, образованных каждым сигнальным проводом и общим проводом. На главной диагонали находятся собственные индуктивности, вне главной диагонали находятся взаимные индуктивности, .

- квадратная матрица коэффициентов проводимостей утечки между проводниками, размер матрицы , .

- квадратная матрица емкостных коэффициентов системы проводников с учетом влияния общего проводника, . На главной диагонали находятся положительные значения, а вне отрицательные.

Для решения такой системы уравнений (1) с учетом свойств источников и приемников сигналов требуется вычислительная техника и программное обеспечение для решения задач математической физики. Для упрощения модели электромагнитного процесса многопроводной системы уравнение (1) можно записать в пространственно- частотной форме.

(2)

Такое преобразование исключает из системы уравнений время. Система (2) – это система комплекснозначных обыкновенных дифференциальных уравнений.

- матрица-столбец комплексных действующих значений напряжений сигнальных проводников в контрольном сечении.

- матрица-столбец комплексных действующих значений токов сигнальных проводников в контрольном сечении.

Система уравнений (2) справедлива в том случае, когда токи и напряжения в многопроводниковой системе изменяются по синусоидальному закону с одной и той же фиксированной частотой .

Если токи и напряжения изменяются не по синусоидальному закону, то столбцовую матрицу и нужно рассматривать как комплексный спектр плотности соответствующих напряжений и токов.

В системе (2) в правой части и можно вынести за скобку, тогда получим:

(3)

Здесь обозначено - квадратная матрица продольных комплексных сопротивлений многопроводной системы.

- квадратная матрица поперечных комплексных проводимостей многопроводной системы.

Для решения системы уравнений (3) ее надо дополнить граничными условиями, описывающими свойства источников сигналов, подключенных к началу линии и приемникам сигналов, подключенных к концу линии. Если известны комплексные действующие значения токов и напряжений в начале линии, то систему уравнений (3) можно решить аналитически, если свойства всех подключенных элементов линейные.

Систему уравнений (3) можно представить в блочно-матричной форме:

(4)

Общий вид уравнения (4) записывается следующим образом:

(5)

- матрица-столбец комплексных действующих значений напряжений в начале линий.

- матрица-столбец комплексных действующих значений токов в начале всех линий.

- матричная экспонента.

Решение (5) может быть использовано для получения уравнения связи между токами и напряжениями в начале и в конце многопроводной системы:

(6)

- длина многопроводной системы.

1 соответствует началу всех линий,

2 соответствует концу всех линий.

Уравнение (2) и все остальные соотношения до (6) в пространственно-частотной форме при необходимости могут учесть также поверхностный эффект и эффект близости в проводниках, а также диэлектрические и магнитные потери в изоляции.

Решение (6) позволяет рассчитать практическим способом установившиеся и переходные электромагнитные процессы в многопроводных системах и разветвленных сетях на их основе с учетом всех электромагнитных связей между проводниками.

Дата добавления: 2014-01-07