КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Деление направленного отрезка в данном отношении
Пусть на одной и той же прямой лежат два направленных отрезка и , причем невырожденный направленный отрезок. Тогда отношение в случае, если направленный отрезок также невырожденный, называется число , абсолютная величина которого равна и которое положительно, если и имеют одинаковое направление, и отрицательно в противном случае. Если отрезок вырожденный, а отрезок невырожденный, то будем считать, что . Если отрезок вырожденный, то отношение не определяется. Если отношение к равно , то пишут . Пусть на некоторой прямой задан невырожденный направленный отрезок и путь С – какая-нибудь точка этой прямой, отличная от точки В. Отношением, в котором точка С делит невырожденный направленный отрезок , называется число , определяемое соотношением . Из этого определения следует, что , если точка С лежит между
А В точками А и В, и в противном случае.
При этом , если точка А лежит между точками В и С. B C
И , если точка В лежит между точками А и С. А С
Заметим, что отношение, в котором точка С делит невырожденный направленный отрезок , никогда не равно -1. Теорема 4. Если на оси координат заданы две различные точки и и, если точка делит направленный отрезок в отношении , то ; и Доказательство. Из данного определения отношения , в котором точка С делит невырожденный направленный отрезок , а также из определения координаты направленного отрезка, лежащего на оси, следует
значит на основании теоремы 2 § 4 (то,что координата направленного отрезка заданного двумя точками и оси координат, вычисляются по формуле ), имеем: , откуда . Следствие. Координата середины отрезка равна полусумме координат его концов: . В самом деле: для середины отрезка . Определение. Простым отношением (АВС) трех точек А, В, С лежащих на одной прямой и взятых в определенном порядке (А, В, С) называется число , равное , причем перед дробью ставится знак «+», если точка С лежит между А и В, и знак «-» в противном случае. Определение. Сложным, или ангармоническим, отношением четырех точек А, В, С, D, лежащих на одной прямой (точки А и В различны, С и D различны), называется число Если =-1, то говорят, что точка С и D гармонически разделены точками А и В. Теорема 5. Каково бы ни было число , существует и притом только одна точка С, которая делит невырожденный направленный отрезок в отношении . Доказательство. Введем на прямой АВ систему координат. Предполагая, что некоторая точка С (х) делит направленный отрезок в отношении , на основании предыдущей теоремы найдем , где и - координаты точек А и В. Этим доказана единственность точки С, делящей направленный отрезок в данном отношении , т.е. доказано, что если такая точка существует, то только одна. Далее, точка С с координатой
делит направленный отрезок в отношении , так как из написанного соотношения следует Точки С и В различны, так как разность их координат не равна нулю; в самом деле, (т.к. это но поскольку по условию теоремы отрезок невырожденный). Поэтому и из последнего равенства следует, что .
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 974; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |