Геометрический смысл неравенства первой степени с двумя неизвестными

Теорема 1. Пусть относительно общей декартовой системы координат прямая линия задана общим уравнением

.

Тогда для координат х, у точек М (х, у), лежащих по одну сторону от этой прямой, выполняется неравенство

,

а для координат х, у точек М (х, у) лежащих по другую сторону от этой прямой, - неравенство .

Доказательство. Пусть и - две произвольные точки, лежащие на разные стороны от прямой l, заданной уравнением

.

Это значит, что существует внутренняя точка М (х, у) отрезка , лежащая на прямой l. Пусть - отношение, в котором точка М делит направленный отрезок . Тогда координаты точки М через координаты точек и выражаются соотношениями

.

Так как точка М лежит на прямой l, то координаты точки М удовлетворяют уравнению прямой l:

,

откуда

Точка М – внутренняя точка отрезка , поэтому , значит числа и - разных знаков. Если теперь считать точку фиксированной, а точку переменной (но лежащей все время по разные стороны с точкой , относительно прямой l), то становится ясно, что имеет один и тот же знак (противоположный знаку ) для переменной точки . Фиксируя точку , и считая, что - переменная точка (лежащая с точкой по разные стороны от прямой l), получим что имеет один и тот же знак, противоположный знаку . Ч.т.д.

Полуплоскость, для координат всех точек которой , будем называть положительной, а полуплоскость, для координат всех точек которой , будем называть отрицательной.

Теорема 2. Пусть относительно общей декартовой системы координат прямая линия задана общим уравнением . Тогда если отложить главный вектор этой прямой от любой точки этой прямой , то конец Р отложенного вектора будет находиться в положительной полуплоскости от данной прямой (см.рис. 112)

Доказательство. Точка Р имеет координаты Подставляя их соответственно вместо х и у в левую часть уравнения , получим

Если система координат декартова прямоугольная, то (см. § 62) главный вектор при этом еще и ортогонален прямой (см.рис. 113). Ч.т.д.

Рассмотрим ненулевой вектор , заданный относительно общей декартовой системы координат, и прямую l, заданную общим уравнением относительно той же системы координат.

Возьмем на прямой l произвольную точку и отложим от нее вектор . Тогда точка Р будет иметь координаты Подставим эти координаты в левую часть данного уравнения. Получим

.

Так как точка лежит на данной прямой, то число равно нулю, значит, результат постановки координат точки Р в левую часть уравнения данной прямой будет равен Аl + Bm. Отсюда следует, что если то конец Р вектора , отложенного от любой точки прямой l, лежит в положительной полуплоскости от прямой заданной уравнением . Будем говорить, что в этом случае вектор направлен в положительную полуплоскость от прямой, заданной уравнением . Если же , то конец вектора , отложенного от любой точки прямой , лежит в отрицательной полуплоскости от этой прямой. В этом случае будем говорить, что вектор направлен в отрицательную полуплоскость от прямой .

Дата добавления: 2014-01-07