Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Нормальное уравнение прямой




Уравнение прямой, заданной относительно декартовой прямоугольной системе координат, называется нормальным, если нормальный вектор

к этой прямой является единичным, т.е. если . Константа С должна быть со знаком «-», т.е. при этом начало координат относительно прямой будет расположено в отрицательной полуплоскости.

Для приведения к нормальному виду общего уравнения прямой , заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат, следует умножить левую часть данного уравнения на число D:

и выбрать D так, чтобы вектор был единичным. То есть . Из этого уравнения определить константу D:

.

То есть константа D может быть положительной и отрицательной, а это неоднозначность, это плохо. Будем, (условимся) брать знак у D противоположным знаку С, где С – это свободный член в исходном уравнении прямой . Это обеспечит то, что начало координат будет находится в отрицательной полуплоскости. А расстояние от начала координат до этой прямой будет равно:

.

Таким образом, любую прямую можно задать с помощью единичного нормального вектора и с помощью расстояния от начала координат до прямой.

Но, как мы уже видели, существуют два единичных вектора, ортогональных данной прямой. Из этих двух выберем тот, который имеет начало в точке О и направлен в сторону прямой l (см.рис). Ибо только в этом случае начало координат окажется в отрицательной полуплоскости.

Выбранный вектор однозначно определяется своим углом с осью Ох, который отсчитывается против часовой стрелки. Координаты вектора легко вычисляются через этот угол : .

Ну вспомните направляющие косинусы вектора : , но в нашем случае это вектор а не , поэтому , т.е. . Значит первая координата (х – овая координата вектора есть ). Аналогично про координату у.

Условие того, что произвольная точка принадлежит прямой l, эквивалентно тому, что ортогональная проекция радиуса вектора точки М на направление нормального вектора прямой равна расстоянию р от точки О до прямой l: пр(см. рис). А мы знаем, что проекция прравна скалярному произведению векторов и . А так как длина нормального единичного вектора равна 1: , то это приводит к равенству (тоже хорошо видно из рисунка). Теперь запишем скалярное произведение в координатах. Вектор , т.к. координаты точки и радиуса – вектора этой точки совпадают, что мы уже знаем. Получаем следующее уравнение:

.

Это уравнение также называется нормальным уравнением прямой. Параметрами в этом уравнении является угол между нормальным вектором прямой и осью Ох и расстояние Р от начала системы координат до прямой l.

Так вот, для того, чтобы определить нормальное это уравнение или ненормальное, необходимо:

1) Проверить, чему равно . Если не равно 1, то это сразу уравнение ненормальное.

2) Проверить константу С. Если она < 0, то уравнение нормальное, если нет, то ненормальное.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1353; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.