Пример. ненормальное, т.к. , но С > 0

нормальное, т.к. ; С < 0.+

ненормальное, т.к. , но С > 0.

В случае, если прямая проходит через начало координат, то нормальным считаются оба уравнения как + так и –.

§ 65. Угол между двумя прямыми; условие перпендикулярности двух прямых

Пусть две прямые заданы относительно декартовой прямоугольной системы координат общими уравнениями

(1)

Тогда угол между векторами

и

равен одному из углов, образованных этими прямыми, а значит, косинусы этих углов будут вычисляться по формуле:

. (2)

Отсюда находим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых

.

Заметим, что если данные прямые параллельны, то векторы и коллинеарны, и мы получим (в этом случае считаем, что , ).

Замечание. Так как главный вектор прямой, заданной общим уравнением относительно декартовой прямоугольной системы координат, перпендикулярен этой прямой и направлен в положительную полуплоскость от данной прямой (рис. 116), то по формуле

(3)

(где для радикалов берутся положительные значения) вычисляется косинус того угла между двумя прямыми

(заданными относительно декартовой прямоугольной системы координат), внутри которого лежат точки, принадлежащие разноименным полуплоскостям от данных прямых (положительной полуплоскости для одной прямой и отрицательной для другой).

Отметим, что косинусы двух смежных углов различаются знаками, так как . При этом положительное значение косинуса соответствует острому углу. Отсюда, наименьший из углов между двумя прямыми вычисляется по формуле

Дата добавления: 2014-01-07