Взаимное расположение прямой и плоскости

Взаимное расположение двух прямых

Следующие утверждения выражают необходимые и достаточные признаки взаимного расположения двух прямых в пространстве, заданных каноническими уравнениями

относительно общей декартовой системы координат.

а) Прямые скрещиваются, т.е. не лежат на одной плоскости.

б) Прямые пересекаются.

, но векторы и неколлинеарны (иначе их координаты пропорциональны).

в) Прямые параллельны.

Векторы и коллинеарны, но вектор им неколлинеарен.

г) Прямые совпадают.

Все три вектора:,, коллинеарны.

Доказательство. Докажем достаточность указанных признаков

а) Рассмотрим вектор и направляющие векторы данных прямых

,.

Если,

то эти векторы некомпланарны, следовательно, данные прямые не лежат на одной плоскости.

б) Если, то векторы компланарны, следовательно, данные прямые лежат в одной плоскости, а так как в случае (б) направляющие векторы и этих прямых предполагаются неколлинеарными, то прямые пересекаются.

в) Если направляющие векторы и данных прямых коллинеарны, то прямые или параллельные, или совпадают. В случае (в) прямые параллельны, т.к. по условию вектор, начало которого находится в точке первой прямой, а конец – в точке второй прямой не коллинеарен и.

г) Если все векторы и коллинеарны, то прямые совпадают.

Необходимость признаков доказывается методом от противного.

Клетеник № 1007

Следующие утверждения дают необходимые и достаточные условия взаимного расположения прямой, заданной каноническими уравнениями

, (1)

и плоскости, заданной общим уравнением

(2)

относительно общей декартовой системы координат.

Плоскость и прямая пересекаются:

.

Плоскость и прямая параллельны:

,

.

Прямая лежит на плоскости:

,

.

Докажем сначала достаточность указанных признаков. Запишем уравнения данной прямой в параметрическом виде:

. (3)

Подставляя в уравнение (2 (плоскости)) координаты произвольной точки данной прямой, взятые из формул (3), будем иметь:

,

или. (4)

1. Если, то уравнение (4) имеет относительно t единственное решение:

,

а значит, данная прямая и данная плоскость имеют только одну общую точку, т.е. пересекаются.

2. Если,, то уравнение (4) не удовлетворяется ни при каком значение t, т.е. на данной прямой нет ни одной точки, лежащей на данной плоскости, следовательно, данные прямая и плоскость параллельны.

3. Если,, то уравнение (4) удовлетворяется при любом значении t, т.е. все точки данной прямой лежат на данной плоскости, значит, данная прямая лежит на данной плоскости.

Выведенные нами достаточные условия взаимного расположения прямой и плоскости являются и необходимыми и доказываются сразу методом от противного.

Из доказанного следует необходимое и достаточное условие того, что вектор компланарен плоскости, заданной общим уравнением относительно общей декартовой системы координат.

Дата добавления: 2014-01-07