Ориентированный . Ориентированная плоскость. Площадь

Лекция №3

Прошлый раз мы определили ОДСК и ДПСК на плоскости и в пространстве.

Если на плоскости задана ДПСК, то плоскость делится на четыре части I, II, III, VI.

I – это первый квадрант.

II – второй квадрант.

III – третий квадрант.

IV – четвертый квадрант.

Треугольником называется тройка точек. Если эти точки не принадлежат одной прямой, то - невырожденный. Если принадлежат - вырожденный. Площадь вырожденного .

Ориентированным называется упорядоченная тройка точек А, В, С. В обозначении ориентированного порядок точек определяется порядком их записи: А – первая, В – вторая, С – третья.

Плоскость, на которой фиксирован невырожденный ориентированный , называется ориентированной.

Рассмотрим произвольный невырожденный , лежащий на плоскости, ориентированной треугольником .

имеет положительную ориентацию, если треугольники и имеют одинаковую ориентацию, если же -ки и имеют противоположную ориентацию, то имеет отрицательную ориентацию.

Для наглядности поступают так. Если обходы контуров треугольников и в направлении от первых вершин ко вторым и третьим совершаются в одном направлении (оба против часовой стрелки или оба по часовой стрелке), то треугольники и имеют одинаковую ориентацию (рис. 22), а если указанные обходы

совершаются в противоположных направлениях (один против часовой стрелки, а другой по часовой стрелке), то треугольники и имеют противоположную ориентацию (см.рис.23).

Вырожденному ориентированному треугольнику не приписывается никакой определенной ориентации (ни положительной, ни отрицательной). Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат; ориентируем ее треугольником , где О – начало координат, а и - соответственно единичные точки осей Ох и Оу.

Площадью невырожденного ориентированного треугольника , лежащего в плоскости, ориентированной , называется число, абсолютная величина которого равна площади , измеренной масштабным квадратом (т.е. квадратом со стороной ), и которое положительно, если имеет положительную ориентацию, и отрицательную в противном случае.

Теорема Шаля для площадей. Пусть АВСD – 4 произвольные точки, лежащие на плоскости П. Введем на этой плоскости декартову прямоугольную систему координат хОу. Пусть О – начало координат, а и - масштабные отрезки соответственно осей Ох и Оу . Ориентируем плоскость П ориентированным треугольником . Тогда

(1)

Доказательство. Предположим сначала, что - не вырожденный.

1. Пусть точка D лежит внутри (см. рис.) тогда:,

или . (2)

В рассматриваемом случае все треугольники , и имеют одинаковую ориентацию, поэтому все числа, стоящие под знаком модуля имеют один и тот же знак. Если все они положительны, то знак модуля (по определению модуля или абсолютной величины числа) можно снять. Если все они отрицательны, то при снятии знака модуля перед каждым выражением и слева, и справа надо поставить знак «минус» и после перемены знака опять получим равенство .

2. Предположим, что точка D лежит в области, ограниченной отрезком АВ и лучами, полученными продолжениями отрезков СА и СВ за точки А и В (см. рис.) Тогда

или . (3)

В рассматриваемом случае треугольники , и имеют одинаковую ориентацию, а , имеет ориентацию, им противоположную. Значит , , - числа одного знака, а число имеет знак, им противоположный. Если, например,

, то из равенства сразу следует или .

А если , то после перемены знаков в левой и правой частях получим умножаем на -1 левую и правую части, получаем утверждение теоремы .

Аналогично доказывается правильность формулы , для случая, когда точка D лежит в области, ограниченной отрезком АС и лучами, полученными продолжением отрезков ВА и

ВС за точки А и С.

И для случая, когда точка D лежит

в области, ограниченной отрезком

ВС и продолжениями отрезков АВ

и АС за точки В и С.

3. Предположим, что точка D лежит внутри угла, вертикального с внутренним углом А треугольника АВС (см. рис.). Тогда:

, или (4)

Теперь числа и имеют одинаковые знаки, а числа и - знаки, им противоположные, поэтому из равенства (4) опять следует равенство (1).

Аналогично доказывается правильность формулы (1) для случая, когда точка D лежит внутри угла, вертикального с внутренним углом В и с внутренним углом С треугольника АВС.

4. Предположим, что точка D лежит на прямой ВС между точками В и С (см. рис.)

В этом случае или . (5)

В рассматриваемом случае треугольники , и имеют одинаковую ориентацию, поэтому числа , и одного знака, и из равенства (5) следует равенство (1), т.к. в рассматриваемом случае .

Аналогично доказывается правильность формулы (1) в случае, если точка D лежит на стороне СА между точками С и А или на стороне АВ между точками А и В.

5. Предположим, что точка D лежит на продолжении отрезка ВС за точку В. Тогда (см. рис. 28) или

. (6)

В рассматриваемом случае треугольники и имеют одинаковую ориентацию, а имеет ориентацию, им противоположную, поэтому числа и одного знака, а имеет знак, противоположный им. Если, например то из равенства (6) сразу следует равенство (1) (т.к. ).

Если то поменяв в обеих частях равенства (6) знаки опять придем к равенству (1).

Аналогично доказывается правильность формулы (1) для случая, когда точка D лежит на продолжении отрезка ВС за точку С, а также когда она лежит на прямой СА (на продолжении отрезка СА за точку А или за точку С).

6. Если точка D совпадает с одной из точек А или В или С, то

7. Остается рассмотреть случай когда точки А, В, С принадлежат одной прямой.

8. Если при этом и точка D принадлежит той же прямой, то соотношение (1) будет 0=0.

Предположим поэтому, что среди точек А, В, С, D есть три точки не принадлежащие одной прямой. Пусть, например, точки В, С, D не принадлежат одной прямой. Тогда по доказанному, имеем.

или или или ЧТД.

Определение. Выражение обозначается так: и называется определителем второго порядка. Аналогично выражение называется определителем третьего порядка. Считается он через определители второго порядка по формуле:

.

Теорема 2. Если относительно ДПСК хОу на плоскости заданы точки и выбраны единичные масштабные отрезки осей для измерения длин и площадей, то площадь ориентированного треугольника вычисляется через определитель третьего порядка по формуле:

,

или через определитель второго порядка по формуле:

Доказательство. Сначала предположим, что точка А лежит на оси Ох и не совпадает с началом координат точка В лежит на оси Оу и не совпадает с началом координат , а точка С совпадает с началом координат . Тогда

Далее, если (то есть точки А и В лежат на положительных полуосях Ох и Оу), то треугольники и имеют одинаковую ориентацию, т.е. . Если же (т.е. точка А лежит левее точки О), то треугольники и имеют противоположную ориентацию, т.е. . Таким образом, и - числа одного знака. Получаем

.

А через определитель: . ЧТД.

Пусть А и В – произвольные, а точка С совпадает с началом координат. Обозначим через и параллельные проекции точек А и В на ось Ох параллельно оси Оу. Применяя теорему Шаля для точек А, В, О, будем иметь . С другой стороны, ориентация и площадь треугольника не изменится, если одну его вершин переместить по прямой, параллельной стороне, противолежащей этой вершине, следовательно

и предыдущее соотношение примет вид:

Применяя теорему Шаля для точек А, , О, , получим

(так как ). Из двух последних соотношений следует, что

где и - параллельные проекции точек А и В на ось Оу параллельную оси Ох.

Применяя формулу для вычисления площади треугольника, когда точки А, В лежат на осях координат, имеем:

Площадь через определитель дает

, всё верно.

Пусть, наконец точки А, В и С занимают на плоскости какое угодно положение. Тогда

Отнимая из элементов первой и второй строк соответствующие элементы третьей строки и разлагая полученный определитель по элементам последнего столбца, получим:

.

Следствие 1. Площадь заданного своими вершинами ; , относительно ДПСК вычисляются как модуль определителя.

Следствие 2. Для того, чтобы 3 точки АВС лежали на одной прямой необходимо и достаточно, чтобы

Дата добавления: 2014-01-07