Понятие производной

Пусть функция определена на промежутке X.

Возьмем точку и придадим этому значению некоторое приращение , такое, что новая точка . Тогда значение функции изменится от до и приращение функции получиться

Если существует предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению независимой переменной , при стремлении к нулю, т.е.

то его называют производной функции по независимой переменной x в точке. В общем случае, когда производная находится в произвольной точке, аргумент можно не писать. Обозначается производная различными символами:

Итак, производная функции , при условии существовании предела, определяется по формуле:

Дифференцирование функции – это операция нахождения производной функции.

Функция называется дифференцируемой в точке , если она имеет конечную производную в этой точке.

Функция называется дифференцируемой на промежутке , если она имеет конечную производную во всех точках этого промежутка.

Сравнивая определение и содержание задач, можно сформулировать механический, геометрический и экономический смысл производной.

Механический (физический) смысл производной: скорость V точки в момент времени есть производная пути S по времени t, т.е.

Геометрический смысл производной: угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке есть производная т.е.

.

Используя геометрический смысл производной можно вывести уравнение касательной к некоторой кривой в данной точке. Из курса аналитической геометрии известно уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом: . Заменяя коэффициент k на производную, получим уравнение касательной к кривой в точке

Нормалью к кривойназывается прямая, перпендикулярная касательной в точке касания и уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:

Экономический смысл производной: производительность труда p в момент времени есть производная объема произведенной продукции V по времени t,т.е.

Согласно определению, процесс отыскания производной функции в точкепредполагает выполнение следующих действий:

1. Значению дать произвольное приращение , тогда новое значение аргумента окажется равным

2. Вычислив значенияи , отыскать приращение функции .

3. Найти отношение

4. Найти

Пример. Найти производную функции в точке

Решение. 1) дадим значению приращение , тогда новое значение аргумента окажется равным

2) учитывая, что , а вычислим приращение функции

3) Составляя отношение получаем

4) Найдем пределИмеем:

Итак,

Рассмотрим, как связаны два важнейших свойства функции – непрерывность и дифференцируемость.

Теорема 5.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство. По условию теоремы, функция дифференцируема в точке , т.е. она имеет конечную производную, а именно существует предел:

, где конечна и не зависит от .

Используя третью запись предела, имеем:

где бесконечно малая функция.

Выразим (т.к. и при ).

Таким образом, . По определению непрерывности функция непрерывна в точке. Теорема доказана

Обратное утверждение в общем случае неверно, т.е. если функция непрерывна в какой-то точке, то она не обязательно будет дифференцированной в этой точке. В качестве доказательства приведем пример функции ,которая непрерывна в точке , но не дифференцируема в этой точке.

Используя определение производной, приведем примеры дифференцирования некоторых основных элементарных функций.

Пример… const. Область определения этой функции множество всех действительных чисел . Зафиксируем произвольную точку . Дадим аргументу x в точкепроизвольное приращение , получим точкуНайдем значения функции в точках и получим , . Поэтому, а следовательно, и Таким образом,

Пример …Область определения этой функции множество всех действительных чисел . Зафиксируем произвольную точку . Дадим аргументу x в точкепроизвольное приращение , получим точкуНайдем значения функции в точках и получим ,

.

Поэтому,

Следовательно,

Воспользовавшись первым замечательным пределом и непрерывностью функции , окончательно получаем:

Таким образом,

Дата добавления: 2014-01-07