Б. Аналитический способ определения равнодействующей

В тех случаях, когда на тело действует более трех сил, а также, когда направления некоторых сил неизвестны, удобнее при решении задач пользоваться не геометрическим, а аналитическим условием равновесия, основанным на методе проекций.

Проекцией силы на ось называется отрезок оси, заключенный между двумя перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора силы.

Пусть даны координатные оси х и у, сила Р, приложенная в точке А и расположенная в плоскости координатных осей х, у (рис. 6).

Проекциями силы Р на оси координат будут отрезки аb и аb'. Обозначим их Р_x и Р_y.

Тогда

за направление проекции примем направление от проекции начала к проекции конца вектора силы.

Так как проекция силы является алгебраической величиной, она может быть положительной или отрицательной. Руководствуются следующим правилом знаков. Если направление проекции силы на ось совпадает с положительным направлением оси, то эта проекция считается положительной, и наоборот.

Если вектор силы перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось равна нулю (рис. 6, сила Q).

Если вектор силы параллелен оси, то он проецируется на эту ось в натуральную величину (рис. 6, сила F).

Рис.6

Из треугольника ABC можно определить модуль и направление вектора силы Р по следующим формулам:

модуль силы:

направление силы:

В системе сходящихся сил равнодействующая может быть найдена через проекции составляющих. Проектируя все силы на оси О_х и О_у получим:

Модуль равнодействующей R через ее проекции определится по формуле

Система сходящихся сил находится в равновесии, если величина равнодействующей R = 0. При определении модуля равнодействующей оба слагаемых, стоящих под знаком корня всегда положительны как величины, возведенные в квадрат.

В связи с этим выполнение положения R = 0 возможно только при условии:

Эти условия формулируются следующим образом: для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций этих сил на каждую из двух координатных осей была равна нулю.

Приведенные формулы называются уравнениями равновесия плоской системы сходящихся сил и используются при аналитическом способе решения задачи.

Аналитический метод решения задач, по сравнению с геометрическим, является более универсальным и применяется чаще всего. Решение задач этим методом ведется по следующем плану.

1. Выделяют объект равновесия - тело или точку, где пересекаются линии действия всех сил, т.е. точку пересечения.

2. К выделенному объекту равновесия прикладывают заданные силы.

3. Выделенную точку или тело освобождают от связей, заменяя их действие реакциями.

4. Выбирают оси координат и составляют уравнения равновесия.

Для упрощения решения задач рекомендуется, по возможности, выбирать так, чтобы каждое уравнение равновесия содержало наименьшее число неизвестных.

5. Решают уравнения равновесия.

Если при решении задач искомая реакция получится отрицательной, то это значит, что действительное ее направление противоположно направлению, принятому на схеме.

6. Проверяют правильность решения.

Пример 1. Груз силой Р подвешен к тросу в точке В (рис. 7) и удерживается в равновесии с помощью груза, сила тяжести которого Q = 5 кН. В точке С трос перекинут через блок D, а в точке А прикреплен к вертикальной стене. Силами трения в блоке D пренебречь. Угол а между тросом АВ и вертикалью а = 45°, а между вертикалью и тросом ВС β = 60°.

Рис.7

Определить натяжение троса на участке АВ и силу тяжести груза Р.

Решение. 1. В точке В пересекутся линии действия заданной силы Q и искомых сил:

натяжение троса АВ и груза Р. Поэтому точку В рассматриваем как объект равновесия.

2. Прикладываем к этой точке силу Q, учитывая, что блок D изменяет направление силы, но не влияет на ее величину.

3. Освобождаем узел В от связи троса, которая осуществляется грузом Р и стеной. Прикладываем вместо связи реакцию R_AВ , полагая, что в тросе АВ действует растягивающее усилие.

4. Выбираем оси координат х и у и составляем уравнения равновесия:

5. Решая уравнения равновесия находим

Дата добавления: 2014-01-07