Лемма Жордана

План лекции

ЛЕКЦИЯ 9

1. Лемма Жордана.

2. 2, 3 и 4-ая формулировки леммы Жордана.

3. Применение леммы Жордана для вычисления несобственных интегралов.

Лемма Жордана (первая формулировка): Если на некоторой последовательности дуг , (при , а фиксировано) функция равномерно относительно аргумента z, то для любого .

Рис. 1

Положим , тогда дуги примут вид: ,

, ,

, ,

Функциональный множитель . Другие изменения, которые вызваны заменой учтем, переходом от функции g(z) к функции F(p).

Лемма Жордана (вторая формулировка): Если на некоторой последовательности дуг , (, а фиксировано) функция равномерно относительно аргумента р, то для любого .

Рис. 2

Заменим во второй формулировке леммы Жордана р на –р. В этом случае контур , . В функциональном многочлене знак минус введем в параметр , т. е. .

Лемма Жордана (третья формулировка): Если на некоторой последовательности дуг , (, а фиксировано) функция равномерно относительно аргумента р, то для любого .

Рис. 3

Заменим в первой формулировке z на –z. В функциональном множителе знак минус введем в параметр , т. е. . Контур принимает вид , .

Лемма Жордана (четвертая формулировка): Если на некоторой последовательности дуг , (, а фиксировано) функция равномерно относительно аргумента z, то для любого .

Рис. 4

Пример.

Требуется найти функцию f(z), если преобразование Фурье функции , .

В соответствии с преобразованием Фурье: . Для вычисления данного интеграла можно использовать теорию вычетов и лемму Жордана.

Рассмотрим функцию , положив z=w+iy.

1. Пусть t>0. Рассмотрим замкнутый контур

Рис. 5

Вычислим интеграл

(*)

Перейдем в (*) к пределу при , тогда ( по первой формулировке леммы Жордана).

В результате получим, что .

2. Пусть t<0. Рассмотрим замкнутый контур .

Рис. 6

Вычислим интеграл по контуру с:

(**)

Перейдем в (**) к пределу при , тогда ( по четвертой формулировке леммы Жордана).

В результате получим, что .

Рис. 7

Дата добавления: 2014-01-07