Фундаментальное решение уравнений Пуассона и Лапласа

Понятие о методе изображений

При анализе электростатических полей обычно требуется определить распределение векторов E, D а также распределение скалярного электрического потенциала, если известны форма и расположение проводников и диэлектриков и неоднородные граничные условия:

а) потенциалы проводников;

б) суммарный заряд каждого проводника, потенциал которого неизвестен.

Решение, удовлетворяющее уравнению (4) и вышеназванным граничным условиям, является единственным.

Из этой теоремы, которую называют теоремой единственности, вытекают два важных следствия.

Следствие 1. Электрическое поле (и соответствующее ему решение) в некотором объеме, ограниченном равнопотенциальными поверхностями, не изменится, если эти поверхности станут проводящими, т.е. превратятся в границы проводников, которым сообщены соответствующие потенциалы.

Следствие 2. Электростатическое поле по одну сторону от поверхности S (не обязательно равнопотенциальной) не изменяется, если по другую сторону этой поверхности изменить параметры среды и распределение зарядов так, чтобы сохранились граничные условия на поверхности S.

Вновь распределенные заряды называются изображениями преобразованных зарядов, а основанный на таком преобразовании метод расчета – методом изображений.

Оба следствия из теоремы о единственности позволяют значительно расширить область применения интегральных форм уравнений электростатики для расчета полей.

Фундаментальным решением этих уравнений является частное решение, соответствующее распределению скалярного электрического потенциала в бесконечной линейной однородной среде вокруг точечного электрического заряда при открытых граничных условиях :

,

где R – расстояние между точечным зарядом и точкой наблюдения. Если в расчетной области известно распределение объемных и поверхностных зарядов, а также вектора диэлектрической поляризованности вещества, то распределение скалярного электрического потенциала может быть определено по формуле

(8)

Как правило, при анализе сложных электростатических полей распределение зарядов и поляризованности вещества неизвестно, поэтому прямое применение формулы (8) невозможно. В этом случае формула (8) используется в качестве основы для построения интегральных методов анализа электростатических полей.

Дата добавления: 2014-01-07