Поверхностный эффект в круглом проводе

Пусть по прямолинейному проводу круглого сечения радиуса а протекает комплексный ток (рис. 3).

Рис. 1.

(3)

(4)

(5)

Если из (5) выразить и подставить в (4), то получим

(6)

Введем обозначение

Тогда уравнение (6) примет вид:

(7)

Если обе части уравнения (4) продифференцировать по r и подставить туда (5), то в соответствии с введенным обозначением получим:

(8)

Уравнения (7), (8) являются частными случаями уравнения Бесселя

,

частные решения, которого y= J _n (x) называются функциями Бесселя n - го порядка. Для вычисления эти функции могут быть записаны в виде:

При является возрастающей функцией. Это означает, что действующее значение напряженности электрического поля и плотности тока убывает от поверхности провода к его оси. В этом и сказывается поверхностный эффект в круглом проводе. Поверхностный эффект приводит к тому, что с ростом частоты тока возрастает активное сопротивление провода на единицу длины и уменьшается внутренняя индуктивность провода на единицу длины.

Комплексное сопротивление провода на единицу длины равно:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первой главе учебного пособия строго определены основные (силовые) векторы электромагнитного поля: вектор напряженности электрического поля и вектор магнитной индукции. Это необходимая основа для изучения данной дисциплины и постижения современной теории силовых взаимодействий в электромагнитных полях, имеющей важнейшее прикладное значение. В пособии даны строгие математические определения источников электромагнитного поля: электрических токов трех типов (проводимости, смещения и переноса), а также электрических и магнитных диполей. С общих математических позиций определены наиболее распространенные дифференциальные операторы в теории электромагнитного поля (градиент, дивергенция, ротор). Рассмотрены также дифференциальные операторы второго порядка и необходимые интегральные теоремы, используемые в учебном курсе. В пособии описаны основные законы теории электромагнитного поля в интегральной и дифференциальной формах: закон полного тока, закон электромагнитной индукции, теорема Гаусса, закон непрерывности линий магнитной индукции. Эти закономерности являются физической основой работы важнейших и многочисленных электротехнических и электроэнергетических устройств и систем. В пособии изложены современные соотношения между векторами поля и электрофизическими свойствами различных сред. Математически строго определены понятия объемной плотности энергий электрического и магнитного полей, удельной мощности тепловых потерь и удельной мощности сторонних источников. Последнее определение сформулировано впервые в отечественной учебной литературе. Рассмотрены граничные условия для векторов ЭМП с учетом сторонних источников; рассмотрен закон сохранения заряда. В пособии дана современная точная математическая формулировка теоремы Умова-Пойнтинга, учитывающая различные виды сторонних источников.

Во второй главе данного пособия рассмотрены основные уравнения электростатического поля, связи между векторами этого поля и граничные условия. Сформулирована краевая задача анализа электростатического поля относительно скалярного потенциала для неоднородного и однородного распределения диэлектрической проницаемости в расчетной области. Рассмотрена энергия системы заряженных проводников; дано понятие о методе изображений. Рассмотрено фундаментальное решение уравнений Пуассона и Лапласа. Анализируется поле электрического диполя на основе правил дифференцирования в векторном анализе. Даны классические задачи расчета поля бесконечно длинной заряженной оси и поля двух разноименно заряженных осей; рассмотрены поля и емкости различных вариантов поля двух осей. Анализируется распределение потенциалов и зарядов в системе заряженных проводников.

В третьей главе анализируется электрическое поле постоянного тока. Сформулированы законы этого поля в дифференциальной форме, в которых точно учтена роль сторонних источников в уравнениях Кирхгофа. Роль этих источников учтена также в граничных условиях электрического поля постоянного тока. Рассмотрена краевая задача анализа этого поля и на основе сравнения соответствующих уравнений данного поля и электростатического поля точно определены общие и отличительные признаки этих полей. Анализируется электрическое поле в диэлектрике вблизи проводника с током и в поле в несовершенных изолирующих средах. Рассмотрены варианты моделирования различных физических полей на основе аналогии уравнений, описывающих эти поля, с уравнениями электрического поля в проводящей среде.

В четвертой главе приведены основные законы магнитостатического поля в интегральной и дифференциальной формах, дан современный вариант уравнения материальной связи между векторами магнитного поля. Рассмотрены граничные условия для векторов этого поля. Сформулирована краевая задача магнитостатики относительно векторного магнитного потенциала на основе закона полного тока и уравнения связи между векторами магнитного поля. С учетом условия калибровки получено векторное уравнение Штурма-Луивиля, пригодное для расчета магнитостатических полей в однородных и кусочно-однородных средах. Показано, что частными случаями этого уравнения являются уравнения Пуассона и Лапласа. Рассмотрена более общая краевая задача магнитостатики для неоднородных сред: представлено соответствующее уравнение математической физики для векторного потенциала поля, которое позволяет применять для его решения современные конечноразностные и конечноэлементные методы. Рассмотрено магнитное поле элемента тока.

В данной главе определены также интегральные параметры магнитостатического поля: магнитный поток, потокосцепление, собственная и взаимная индуктивности. Анализируются частные случаи магнитных полей постоянных токов: поле одиночного провода круглого сечения, поле и индуктивность двухпроводной линии коаксиального кабеля, поле цилиндрической катушки. Для анализа магнитных полей применен скалярный магнитный потенциал, сформулирована соответствующая краевая задача и определены граничные условия этой задачи. Для решения проблемы неоднозначности скалярного магнитного потенциала в расчетное уравнение введена фиктивная намагниченность среды. Кратко рассмотрен вопрос магнитного экранирования. В пособии показана возможность применения в магнитостатике пространственных интегральных уравнений, в которых учитывается совместное действие электрических токов и объемно-распределенных магнитных диполей. Показана перспективность применения этих уравнений для решения задач магнитостатики. На основе теоремы Умова-Пойнтинга рассмотрен важный вопрос о мощности, передаваемой по двухпроводной линии постоянного тока.

В пятой главе анализируется переменное гармоническое электромагнитное поле. Рассмотрены уравнения Максвелла и теорема Умова-Пойнтинга в комплексной форме. Дана теорема единственности. Рассмотрены комплексные параметры электрофизических свойств среды, и они использованы для построения современной системы уравнений математической физики для векторного магнитного и скалярного электрического потенциалов гармонического поля. Эта система уравнений применена для частного случая анализа поля в однородной среде. При калибровке Лоренца из этой системы уравнений получены векторное и скалярное уравнение Даламбера, а также волновые уравнения. Рассмотрен излучатель Герца и приведены аналитические выражения для векторного и скалярного комплексных потенциалов этого излучателя. Кратко описан элементарный магнитный излучатель.

В пособии анализируются частные приложения теоремы гармонического электромагнитного поля. Дано понятие о поверхностном эффекте и эффекте близости. Рассмотрены закономерности проникновения плоской волны в однородный проводник и на основе полученных решений дан анализ поверхностного эффекта в проводящей пластине. Приведены аналитические соотношения, описывающие поверхностный эффект в круглом проводе. Названные поверхностные эффекты непременно учитываются при проектировании и эксплуатации разнообразных электротехнических, электроэнергетических и радиоэлектронных устройств и систем, работающих на переменном токе.

Дата добавления: 2014-01-07