Характеристики суммарного ущерба

Рассмотрим различные подходы к описанию S- суммы n случайных величин. Поскольку нас интересуют неотрицательные величины, то в непрерывном случае для функция распределения суммы есть свертка функций распределения случайных величин X,Y:

аналогичное неравенств справедливо для плотности суммы:

в дискретном случае интеграл заменяется на соответствующую сумму. Если - функция распределения случайной величины, а - функция распределения суммы, то. В том случае, когда слагаемые в сумме S одинаково распределены, функция называется n- кратной сверткой функции F и обозначается как. Необходимо заметить, что в непрерывном случае непосредственное вычисление формулы для выражения свертки как правило представляет трудную задачу. В дискретном случае по заданным таблицам распределений случайных величин можно получить значения распределения свертки исходя из рекуррентной формулы

Подчеркнем, что в таком случае можно вычислить любое значение для распределения S, но если требуется получить качественное описание этого распределения, то в таком случае полезны производящие функции моментов: по определению, производящая функция моментов суммы S есть

Для независимых случайных величин величина

В дальнейшем нам потребуются производящие функции моментов для различных типов распределений. Важно отметить, что с одной стороны, производящая функция моментов определяется своим распределением, а с другой по заданной производящей функции моментов можно однозначно восстановить распределение. Рассмотрим такой пример.

Пусть три независимые случайные величины распределены по экспоненциальному закону с параметрами Требуется определить плотность распределения суммы

Для определения искомой плотности определим производящую функцию каждого слагаемого: поскольку плотность распределения случайной величины равна, то

Из независимости случайных величин следует, что производящая функция суммы есть

Теперь искомую плотность распределения будем искать в виде

где коэффициенты находятся из уравнения

Подставляя значения параметров в данное равенство, получим: Теперь нетрудно проверить, что производящая функция моментов для случайной величины с плотностью совпадает с найденной нами функцией.

Заметим, что плотность мы могил бы найти непосредственно, последовательно находя свертки:

Для обозначения натурального логарифма производящей функции моментов будем далее использовать обозначение. Функция позволяет вычислять первые три моменты случайной величины X:

Действительно, поскольку

то. Аналогично соотношения

дают равенства для второго и третьего центральных моментов:

Третий способ описания распределения суммы S состоит в том, что при большом значение n и независимых одинаково распределенных случайных величин слагаемых нормированная случайная величина

считается нормальной стандартно распределенной случайной величиной. На практике проверкой независимости и сравнением распределений слагаемых часто пренебрегают, поскольку практически такая проверка бывает затруднительной. Кроме того, нормальная аппроксимация распределения S бывает единственным выходом из положения при недостаточной статистике.

Продемонстрируем, как можно использовать нормальную аппроксимацию для ответа на вопрос, каков должен быть размер собранных премий, чтобы с заданной вероятностью p его хватило для выплат по искам. Величину премии, соответствующую ущербу, будем представлять в виде. Здесь - так называемая относительная безопасная нагрузка, а - безопасная нагрузка на нетто-премию, которая равна. Суммарная безопасная нагрузка таким образом равна. Для значения будем искать величину из равенства

которое эквивалентно

Для стандартного нормального распределения 95-я процентиль равна 1.645, откуда из равенства

получаем значение величины. Если слагаемы независимы и одинаково распределены, то величина

Нетрудно заметить, что с ростом n значение величины убывает со скоростью. Рассмотрим пример применения нормальной аппроксимации функции распределения S.

Величина исков в автомобильном страховании подчиняется усеченному экспоненциальному распределения, для которого функция распределения

Обладатели полисов распределены по двум категориям. Для k-й категории количество клиентов равно, вероятность страхового случая равна, параметры распределения величины иска равны, и, значения перечисленных параметров приведены в таблице:

k
		0.1		2.5
		0.05

Требуется определить значение относительной безопасной нагрузки, при котором вероятность превышения суммарного иска величины суммарной премии равна 0.05.

Здесь суммарный иск S разбивается на сумму соответствующую двум категориям страхователей. Каждая из сумм представляет собой сумму независимых одинаково распределенных случайных величин исков со средним и дисперсией:

Если теперь - произвольное слагаемое из суммы то из равенств, получим

Отсюда

и величина

Таким образом в этом примере нетто-премия равна, а премия с учетом безопасной нагрузки равна.

Дата добавления: 2014-01-07