Линеаризация уравнений динамических систем

Линеаризация – замена не линейной математической модели приближенной линейной моделью, которая при определенных условиях эквивалентна исходной модели.

I. Линеаризация функции одной переменной (линеаризация не линейной статической характеристики).

Пусть звено описывается уравнением (17.1)

Где вход; выход.

Пусть в установившемся режиме .

В переходном процессе и отличаются от и , т.е. возникают отклонения (17.2)

точка линеаризации.

Задача линеаризации уравнения (17.1) в малой окрестности состоит в приближенной замене (17.1) линейным уравнением записанным для отклонений и .

(17.3)

Чтобы найти коэффициент линеаризации разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки , считая, что имеет в этой точке необходимое число производных.

(17.4)

где, например,

Считая отклонения малыми, удержим в (17.4) только члены содержащие в степени не больше первой.

(17.5)

Вычтем из уравнения (17.5) уравнение статики

(17.6)

Тогда с учётом (17.2) получаем

(17.7)

Из сравнения (17.7) и (17.3) находим

(17.8)

Геометрически коэффициент линеаризации есть угла наклона касательной к графику функции в точке линеаризации.

Особенности уравнения (17.7) или (17.3).

1. В отличие от уравнения (17.7) оно записано не для самих переменных, а для их отклонений.
2. Относительно отклонений оно линейно.
3. оно является приближенным, т.к. были отброшены члены высших порядков малости в разложенном ряде Тейлора.

Замечания:

1. Метод справедлив только при малости отклонений.
2. Не могут быть линеаризованы функции имеющие разрывы.
3. Обычно не линеаризуются гладкие функции (имеющие разрывы производных).

II. Линеаризация функции нескольких переменных.

Пусть функция

(17.9)

дифференцируема в окрестности по каждому аргументу.

Разложим в ряд Тейлора и отбросим члены высших порядков малости.

(17.10)

где

Вычитая уравнение статики

(17.11)

получаем с учетом обозначений

, ;

(17.12)

где коэффициент линеаризации .

Уравнениям (17.9) и (17.12) соответствуют схемы:

III. Линеаризация уравнений в переменных состояния.

(17.13)

(17.14)

Разложим и в ряд Тейлора в окрестности точки и отбросим

(17.15)

(17.16)

Вычтем из уравнения (17.15) и (17.16) уравнения статики

с учетом обозначений

; ; ; , получаем

В векторной форме

Дата добавления: 2014-01-07