Сравнение двух средних

Для сравнения между собой средних арифметических значений (средних) двух нормально распределенных выборок с однородными дисперсиями можно использовать распределение Стьюдента. Сравнение средних – это довольно часто возникающая необходимость при арбитраже результатов измерений (например, при спорах о показателях продукции между производителем и потребителем) для подтверждения достоверности выводов об изменении свойств объекта.

Для статистической проверки равенства двух средних (например и из вышеприведенных выборок a_i и b_i) рассчитаем параметр t* по следующим формулам [4-6]:

; .

Затем по распределению Стьюдента [4] в зависимости от значений t* и степени свободы f* = n ₁ + n ₂ – 2 рассчитывают доверительную вероятность Р вывода о равенстве средних, либо для заданной вероятности определяют значение критерия Стьюдента (t_Т). При использовании табличной формы распределения Стьюдента в качестве f используют степень свободы f*.

Если рассчитанное значение t* превосходит определенное t_Т (t* > t_Т), то с доверительной вероятностью можно считать средние различными. В противном случае (t* ≤ t_Т) для заданной доверительной вероятности можно предположить, что средние равны.

Пример [5]. Два аналитика (А и В), проводя анализ сплава на содержание бериллия одинаковым методом, получили следующие результаты:

Аналитики	Статистические параметры измерений
Число параллельных анализов, n	Средний результат, , %	Выборочное абсолютное стандартное отклонение единичных значений, Sх, %
А		7,44	0,11
В		7,32	0,13

Есть ли расхождение средних результатов у двух аналитиков для доверительной вероятности Р= 0,95?

Для ответа на этот вопрос выполним следующие процедуры. Из-за небольшого объема выборок n_a и n_b не будем определять закон их распределения, а сделаем допущение, что они подчиняются нормальному закону распределения.

Для проверки однородности дисперсий в этих выборках определим следующие параметры:

; F_{Т(Р= 0,95; f1= 4; f 2 = 3 )} = 9,1.

Так как F_Р < F_Т ( 1,4 < 9,1 ), то следует считать сравниваемые дисперсии однородными и поэтому можно рассчитать значение выборочного средневзвешенного абсолютного стандартного отклонения S_ab:

.

Вычислим параметр t*:

Из табл. А.2 прил. А выбираем табличное значение квантиля распределения Стьюдента (t_Т) для f_ab = n_a + n_b – 2 = 7 и заданной вероятности Р = 0,95 (α = 0,05 ). Этот квантиль имеет значение t_Т = 2,37. Так как t* < t_Т ( 1,5 < 2,37 ), то средние результаты анализа сплава, полученные двумя аналитиками, следует считать одинаковыми.

В заключение данной темы еще раз отмечу, что большинство научных, технических, технологических, экологических и других проблем и задач невозможно решить без проведения эмпирических научных исследований, в том числе проведения измерений. Знания и практические навыки в области метрологии (наука об измерениях) определяют уровень профессиональной культуры специалиста с высшим образованием. Так как любые результаты измерений являются случайными величинами (из-за невозможности исключения ошибок измерения), то подход к ним должен основываться на методах математической статистики и теории вероятности.

Спецификой измерений в химии и химической технологии можно считать малое число, а иногда и отсутствие повторных (параллельных, кратных) измерений, что затрудняет точную оценку погрешностей, проведение анализа и выбор формы представления конечных результатов измерений.

Контрольные вопросы и задания

1. Почему результаты количественных измерений относятся к случайным числам?

2. Как наиболее полно характеризовать результат измерения?

3. Какими методами можно уменьшить величины случайных и систематических ошибок?

4. Как доказать наличие грубых ошибок в результатах измерения?

5. Какова величина возможной предельной абсолютной систематической ошибки ваших часов?

6. Какова масса вашего тела?

Дата добавления: 2014-01-07