Скорость и ускорение

Вектором средней скорости называется отношение приращения радиус-вектора ∆ r к промежутку времени D t.

V_ср =

При неограниченном уменьшении D t средняя скорость стремиться к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью V

∆t→0

V = lim =

Мгновенная скорость есть векторная величина, равная первой производной радиус-вектора движущейся точки по времени. При уменьшении D t, DS (DS - скаляр) приближается к | ∆ r | (рис. 1.1) и модуль мгновенной скорости

∆t→0

∆t→0

V = | V |= lim = lim =

Отсюда модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени

V = (1.3)

Вектор мгновенной скорости можно разложить на три составляющие по осям прямоугольной декартовой системы координат:

V_x = ; V_y =; V_z =.

При этом модуль мгновенной скорости.

V = | V | =

Скорость движения может меняться как по модулю, так и по направлению. Быстрота изменения скорости характеризуется вектором ускорения a. Мгновенное ускорение движения определяется как предел, к которому стремится среднее ускорение а_ср = при Dt®0, т.е.

a = lim = = (1.4)

Разложение ускорения точки на составляющие по осям прямоугольной системы координат имеет вид: , ,

а модуль ускорения .

Следовательно, ускорение есть вектор, равный первой производной по времени t от скорости V или второй производной радиус-вектора по времени.

Полное ускорение a имеет две составляющие, перпендикулярные между собой (рис. 1.2) а_t и a_n. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине (a _t), а нормальное (центростремительное) по направлению (a_n). При прямолинейном движении а_n = 0. Из рис. 1.2.

vVVV

рис. 1.2

(1.5)

a_n

a

Рассмотрим составляющие ускорения подробнее и получим их формулы. Пусть V скорость точки А, а через время Dt она изменится до V₂ (точка B).

Перенесем параллельно V₂ в точку A (рис.1.3) и, отложив на нем V_{1 ,}получим подобные треугольники ACD и ABC. При этом DS»AB, а R -радиус кривизны траектории. Из подобия треугольников:

; Следовательно , отсюда

А

Учитывая произвольность выбора точки А, индекс при V опускается, и формула нормальной составляющей ускорения принимает вид: (1.6) Из рис. 1.3. по правилам действий над векторами , Переходя к пределам получим

R D

, отсюда. (1.7)

В скалярной форме (1.7^/)

В зависимости от величин a_n и a_t движение приобретает различный характер: от прямолинейного равномерного до криволинейного с переменным ускорением.

Дата добавления: 2014-01-07