Сравнение функции при на

. Определение 1. Пусть заданы и .

Функция называется б.м. по сравнению с функцией при на (б.б по сравнению с функцией при на ), если существует функция представима в виде: , где

В случае, если такое представление возможно и , то говорят, что функция эквивалентна функции при ,.

Если функция на ,то утверждение, что -б.м. по сравнению с при (что записывают так: ) равносильно утверждению, что .

Пример:

Пусть , тогда

,

Замечание: В равенстве правая часть не означает конкретную функцию, а лишь означает, что речь идет о функции б.м. при , поэтому из того, что

и не следует, что .

Свойство 1. при .

Свойство 2. при .

Свойство 3. при .

Доказательство свойства 3:

функция представима в виде , где - б.м. на , тогда в этой же окрестности .

. Определение 2. Функция называется б.б. по сравнению с , если при .

Таким образом, например,-б.б. по сравнению при , с другой стороны -б.м. по сравнению с .

. Определение 3. Функция называется ограниченной по сравнению с при на , если функция представима в виде , где - ограниченная функция при . Обозначается: при .

Пример:

Требования определения 3 можно сформировать в другом виде:

при .

Свойства:

Свойство 1. Если , то при

Свойство 2.

Свойство 3.

Если одновременно выполняется, что и при , то говорят, что функции и одного порядка. Обозначение:

Пример:

при

и функции одного порядка.

Лекция №6.

Дата добавления: 2014-01-06