Несобственные интегралы

Определение. Пусть функция определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке ,, так что интеграл имеет смысл. Предел этого интеграла при называется несобственным интегралом с бесконечным пределом интегрирования:

.

(37)

В случае если этот предел конечен, говорят, что несобственный интеграл (37) сходится, а функцию называют интегрируемой на бесконечном промежутке ; если предел (37) бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Геометрический смысл несобственного интеграла с бесконечным пределом: это площадь бесконечной области, ограниченной сверху неотрицательной функцией , снизу – осью Ox, слева – прямой .

Аналогичным образом вводится понятие несобственного интеграла по промежутку :

.

(38)

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами можно определить как сумму несобственных интегралов (37) и (38):

,

(39)

где c – любое число.

Несобственный интеграл (39) сходится, если сходятся оба интеграла, входящие в правую часть равенства.

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом: .

Решение: .

Предел функции при не существует, то есть данный интеграл расходится.

Пример 2. Вычислить несобственный интеграл с бесконечными пределами: .

Решение:

Определение. Пусть функция непрерывна, но не ограничена на полуинтервале . Несобственным интегралом от функции на полуинтервале называется предел , где d>0, то есть:

(40)

Если предел, стоящий в правой части равенства (40), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции непрерывной, но неограниченной на полуинтервале :

(41)

Пример 3. Вычислить несобственный интеграл .

Решение: Подынтегральная функция неограниченна при x=1.

.

Если функция не ограничена при , где , то интеграл также называется несобственным.

В этом случае интеграл считается сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства. В противном случае интеграл называется расходящимся.

Пример 4. Вычислить несобственный интеграл .

Решение: Подынтегральная функция неограниченна при x=0.

Данный несобственный интеграл расходится.

Дата добавления: 2014-01-07