Полный дифференциал

Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, то есть:

(3)

Учитывая, что , формулу дифференциала можно записать так:

или

(4)

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке (x;y), если ее полное приращение можно записать в виде:

,

(5)

где dz – дифференциал функции, - бесконечно малые функции при .

Таким образом, дифференциал функции нескольких переменных – это главная часть приращения, линейная относительно приращения аргументов функции.

Полный дифференциал используется для приближенного вычисления функций. Если приращения аргументов функции малы, то полное приращение функции приближенно равно его дифференциалу: . Получаем следующую формулу для приближенного вычисления значения функции:

, где

(6)

Замечание. Точка выбирается таким образом, чтобы значение функции в ней могло быть вычислено точно, а приращения аргументов функции были минимальными.

Пример. Вычислить приближенно .

Решение: Рассмотрим функцию двух переменных . Необходимо вычислить значение этой функции при и . Значение функции можно вычислить точно при . В этом случае приращения аргументов соответственно равны: .

Найдем частные производные:

;.

Вычислим приближенное значение функции:

Ответ:

Дата добавления: 2014-01-07