Достаточные признаки экстремума

Теорема 1(первый достаточный признак)

Пусть -внутренняя точка области определения функции и непрерывна в точке , тогда:

а) если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке максимум.

б) если при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то в точке минимум.

в) если при переходе через точку производная знак не меняет, то в этой точке экстремума нет, т.е. функция в этой же точке монотонна.

Замечание. Требование непрерывности опускать нельзя.

Теорема 2 (второй достаточный признак экстремума)

Если точка - внутренняя точка области определения функции и , тогда, если , то в точке строгий минимум, и если , то в точке строгий максимум.

Доказательство:

Пусть . Т.к. , то - строго возрастает в точке , и т.к. , то при переходе через точку она меняет знак с минуса на плюс и согласно первому достаточному признаку в этой точке минимум.

Дата добавления: 2014-01-06