Тема: Система рівнянь Максвела і їхні властивості. Енергія і потік енергії електромагнітного поля. Вектор Пойнтінга

Лекція № 30.

Контрольні запитання

1. На які групи поділяють устаткування СТО?

2. Як вибирають устаткування на СТО?

3. За допомогою яких показників оцінюють використання устаткування на СТО?

4. Які основні шляхи інтенсифікації використання устаткування на СТО?

5. Як складають план технічного переоснащення виробництва на СТО?

Теорія електромагнітного поля, початок якої заклав Фарадей, математично була завершена Максвелом, який припустив, що подібно тому, як змінне в часі магнітне поле утворює вихрове електричне поле, існує і обернений процес, тобто змінне в часі вихрове електричне поле утворює змінне магнітне поле. Проте, у відповідності з теоремою про циркуляцію вектора напруженості магнітного поля: . За теоремою Гауса для електричного поля: , відкіля отримаємо: . З іншого боку у відповідності з рівнянням безперервності . Додав ліві і праві частини останніх двох рівнянь, отримуємо: . Отримане рівняння є аналогом рівняння безперервності для постійного струму. Із нього випливає, що крім густини струму провідності існує ще один доданок, розмірність якого дорівнює розмірності густини струму. Максвел назвав цей доданок густиною струму зміщення: . Сума струмів зміщення і провідності називається повним струмом: . Використовуючи визначення повного струму, теорему про циркуляцію вектора напруженості магнітного поля можна записати так:

.

Слід відзначити, що струм зміщення еквівалентний струму провідності тільки у відношенні здатності створювати магнітне поле. Струми зміщення існують тільки там, де змінюється в часі електричне поле.

Відкриття струму зміщення дозволило Максвеллу створити єдину теорію електричних і магнітних полів. В основу теорії увійшли наступні чотири рівняння:

1.

- Циркуляція вектора по будь-якому замкнутому контуру дорівнює зі знаком мінус похідній за часом від магнітного потоку через будь-яку поверхню, обмежену даним контуром. При цьому під вектором розуміється не тільки вихрове електричне поле, але й електростатичне.

2.

- Потік вектора крізь довільну замкнуту поверхню завжди дорівнює нулю.

3.

- Циркуляція вектора по будь-якому замкнутому контуру дорівнює повному струму через довільну поверхню, обмежену даним контуром.

4.

- Потік вектора крізь будь-яку замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі сторонніх зарядів, що охоплюються цією поверхнею.

З рівнянь Максвелла для циркуляції векторів і випливає, що електричне і магнітне поле не можна розглядати як незалежні: зміна в часі одного з цих полів приводить до появи іншого. Тому має значення лише сукупність цих полів, що описує єдине електромагнітне поле.

Якщо поле стаціонарне (=const і =const), то рівняння Максвелла приймають наступний вигляд:

, , ,

У цьому випадку електричне і магнітне поля незалежні друг від друга.

В диференціальній формі рівняння Максвелла записуються так:

, , , .

Ці рівняння говорять про те, що електричне поле може виникнути по двох причинах. По-перше, його джерелом є електричні заряди, як сторонні, так і зв'язані. По-друге, поле виникає завжди, коли змінюється в часі магнітне поле. Ці ж рівняння говорять про те, що магнітне поле може збуджуватися або електричними зарядами, що рухаються, тобто електричними струмами, або перемінними електричними полями, або тим і іншим одночасно.

Рівняння Максвелла доповнюються співвідношеннями, у які входять величини, що характеризують індивідуальні властивості середовища. Ці співвідношення називають матеріальними рівняннями. Вони мають наступний вигляд: , , , де – напруженість поля сторонніх сил.

Властивості рівнянь Максвелла:

1. Рівняння Максвелла лінійні. Вони містять тільки перші похідні полів і за часом і просторовими координатами і перші ступені густини електричних зарядів r і струмів j.

2. Рівняння Максвелла містять рівняння безперервності, що виражає закон збереження електричного заряду.

3. Рівняння Максвелла виконуються у всіх інерціальних системах відліку. Вони є релятивістськи інваріантними. Це є наслідок принципу відносності, відповідно до якого всі інерціальні системи відліку фізично еквівалентні друг другу.

4. Рівняння Максвелла не симетричні щодо електричних і магнітних полів. Це обумовлено тим, що в природі існують електричні заряди, але немає зарядів магнітних. Разом з тим у нейтральному однорідному непровідному середовищі, де р = 0 і j = 0, рівняння Максвелла здобувають симетричний вигляд, тобто так зв'язано з , як з .

З рівнянь Максвелла випливає важливий висновок про існування принципово нового фізичного явища: електромагнітне поле здатне існувати самостійно – без електричних зарядів і струмів. При цьому зміна його стану обов'язково має хвильовий характер. Поля такого роду називають електромагнітними хвилями. У вакуумі вони завжди поширюються зі швидкістю, яка дорівнює швидкості світла с = 3*10⁸ м/с.

Теорія Максвелла не тільки пророчила можливість існування електромагнітних хвиль, але і дозволила установити всі їхні основні властивості, а саме:

- швидкість поширення електромагнітних хвиль в непровідному нейтральному неферомагнітному середовищі , де .

- вектори , і взаємно перпендикулярні й утворять правогвинтову систему.

- в електромагнітній хвилі вектори і завжди коливаються в однакових фазах, причому між миттєвими значеннями і у будь-якій точці існує певний зв'язок, а саме , або . Це означає, що і одночасно досягають максимуму, одночасно звертаються в нуль.

Енергія і потік енергії. Вектор Пойнтінга.

Виходячи з уявлень про локалізацію енергії в самому полі і керуючись принципом збереження енергії, можна зробити висновок, що якщо в якійсь визначеній області енергія зменшується, те це може відбуватися тільки за рахунок її "витікання" через границі розглянутої області. Та підставі цього можна припустити, що існує не тільки поняття густини енергії у даній області, але і деякий вектор , що характеризує густину потоку енергії. Якщо говорити тільки про енергії електромагнітного поля, то його повна енергія в даному об’ємі буде змінюватися як за рахунок витікання її з об’єму, так і за рахунок того, що поле передає свою енергію речовині (зарядженим часткам), тобто виконує роботу над речовиною. Макроскопично це твердження можна записати так:

,

де dS – елемент поверхні. Це рівняння виражає теорему Пойнтінга: збиток енергії за одиницю часу в даному об’ємі дорівнює потоку енергії крізь поверхню, обмежену цим об’ємом, плюс потужність Р, яку сили поля роблять над зарядами речовини усередині даного об’єму.

В отриманому рівнянні , де w – густина енергії поля, , де – густина струму, – напруженість електричного поля.

Пойнтінг одержав вираження для густини енергії і вектора , скориставшись рівняннями Максвелла. Якщо середовище не містить феромагнетиків, то густина енергії електромагнітного поля:

.

Густина потоку енергії електромагнітного поля, тобто вектор Пойнтінга, визначається як: .

Дата добавления: 2014-01-07