Нерівність Чебишова та збіжність за ймовірністю

Теоретичну основу закону великих чисел становлять нерівність Чебишева та поняття збіжності послідовності випадкових величин за ймовірністю.

Нерівність Чебишова. Якщо випадкова величина має скінченні математичне сподівання та дисперсію , то для будь-якого числа виконується нерівність:

, (1)

тобто ймовірність того, що відхилення значень випадкової величини від її математичного сподівання буде меншим за абсолютним значенням від додатного числа є не меншою, ніж .

Нерівність (1) називається нерівністю Чебишова і в разі малого числа вона дає оцінку знизу ймовірності того, що величина набуде значення, досить близького до її математичного сподівання .

Для оцінки ймовірності зверху використовують нерівність Маркова: якщо випадкова величина набуває тільки невід’ємних значень і , то для будь-якого виконується нерівність:

.

Приклад 1. Майстерня обслуговує телевізорів. Імовірність того, що кожний зі телевізорів витримає гарантійний термін роботи, становить . За допомогою нерівності Чебишова оцінити ймовірність випадкової події, яка полягає в тому, що більше ніж і менше ніж телевізорів витримають гарантійний термін роботи. Отриманий результат порівняти з імовірністю цієї ж події, обчисленої за допомогою інтегральної формули Лапласа.

Розв’язання. Нехай випадкова величина – число телевізорів, що витримають гарантійний термін роботи. Оскільки маємо незалежних експериментів, у кожному з яких імовірність появи події (один телевізор витримає гарантійний ремонт) , то

; .

(Див. формули для обчислення математичного сподівання і дисперсії числа появ події в послідовних випробуваннях за схемою Бернуллі). Маємо ланцюжок рівносильних нерівностей:

і за нерівністю Чебишова:

,

тобто ймовірність того, що від до телевізорів витримають гарантійний ремонт, є не меншою ніж .

Достатньо точне значення шуканої ймовірності одержимо, використовуючи асимптотичну інтегральну формулу Лапласа:

.

Порівнюючи отримані результати для , робимо висновок, що в даному випадку нерівність Чебишова дає грубу оцінку. Це означає, що нерівність Чебишова для практики має обмежене значення. Проте теоретичне значення цієї нерівності є дуже велике. На базі нерівності Чебишова доводяться теореми закону великих чисел.

Дата добавления: 2014-01-07