Геотермальна енергетика

Дано

m = 2500 кг маса тіла на горизонт поверхні;

коефіцієнт тертя при русі тіла;

к= 2,75 10⁶ Н∕м коефіцієнт жорсткості зв’язку (чим тягнуть тіло – канат);

прискорення тіла.

- деформацію(видовженн) зв’язку (канату)

Як бачите, принцип скороченої умови задачі такий самий, як в кінематиці, і взагалі такий принцип буде збережений і надалі. Справді, «дано»,це лише числові значення величин умови задачі. Тому доцільно біля кожної цифри коротко описати її фізичний зміст стосовно умови задачі.

Що стосується конкретної задачі про автомобіль, який тягнуть канатом, то наведений рисунок (без векторів сил) взятий з журналу «За кермом» і в тексті відмічаються особливості буксирування автомобілів. А на автомобіль діють такі сили: сила тяжіння , реакція опори , сила тяги натягнутим (деформованим) канатом та сила тертя . Так як рух відбувається у горизонтальному напрямі, то в проекціях на цей напрям другий закон Ньютона прийме наступний вигляд

. (2.7.1)

Вважатимемо деформацію каната пружною, тоді, згідно закону Гука, сила тяги, завдяки такій деформації, дорівнює , сила тертя на горизонтальній поверхні , одержуємо:

. (2.7.2)

Підставивши числові значення всіх величин, отримаємо .

Людина завжди мріяла про політ на Місяць. Жюль Верн у своїй фантастиці для польоту на Місяць вибрав гармату. У повісті «З гармати на Місяць» з гармати довжиною 274 м вистрілюють снаряд діаметром 2,7 м і висотою 3,6 м (рис.2.7.2). В цьому снаряді, як у космічному кораблі, знаходились троє сміливців (тепер ми називаємо їх космонавтами). Один з них, Ніколь, носив циліндр масою 600 г (така на той час була мода). Питання: з якою силою тиснув би цей циліндр на голову Ніколя при такому старті з гармати на Місяць? Таким чином, необхідно розв′язати задачу про рух тіла з прискоренням у вертикальному напрямі (рис.2.7.3).

Згідно (2.4.6. шукана реакція опори дорівню

. (2.7.3)

Прискорення знаходимо з кінематичного рівняння

. (2.7.4)

Підставивши числові значення, отримаємо, що у даному випадку вага тіла (циліндра на голові Ніколя) масою 0,6 кг становить 132488 Н – це ніби тіло «набуло» маси 13248,8 кг або трошки більше 13 тон. Тобто, сміливці у такому снаряді Жюля Верна зазнавали би перевантаження у 2000 разів. Нагадаємо, що максимальне короткочасне перевантаження, яке може витримати людина не перевищує 15g.

3. Прикладами руху тіл з прискоренням у вертикальному напрямі є рухи тіл, підвішених на нитці (канаті, пружині і т.п.). Спочатку розглянемо рух одного тіла, і задачею буде описати динаміку його руху з прискоренням у вертикальному напрямі.

Реактивний рух властивий деяким представникам живої природи. Наприклад, кальмарам, каракатицям, медузам – всі вони використовують для плавання реакцію струмини води, що відкидається. Так, кальмар забирає у себе воду, а потім виштовхує її через невеликий отвір, як показано на рис.3.4.1, і, тим самим, забезпечуючи реактивний рух. Все як у реактивному двигуні – тільки замість газів витікає вода зі швидкістю , а сам кальмар рухається у протилежному напрямі з швидкістю (приблизно 70 км/год). При цьому всі щупальці кальмара збираються у вузол, і він набуває обтічної форми.

Другий разючий приклад реактивного руху в природі – це, так званий, скажений огірок. Природа справді створила живу рослинну ракету. У південних країнах та у нас на узбережжі Чорного моря виростає рослина під назвою "скажений огірок". Цю рослину не дарма так називають. До моменту стиглості в ньому виникає великий тиск (майже 6 атмосфер). Навіть легкий дотик до такого огірка викликає неймовірний ефект – миттєво огірок відривається від стеблини, а з отвору, що утворився, викидається сильна струмина клейкої рідини з насінням. Летить такий огірок, подібно ракеті (рис3.4.2), розкидаючи насіння на відстань майже 12 м.

3.5 Робота сталої і змінної сил. Потужність

Ми настільки звикли до терміну „робота”, що для нас це поняття не вимагає пояснення. Але що ж таке робота? Якщо говорять – у нього важка фізична робота, то мають на увазі, що під дією мускульної сили переміщаються важкі предмети. Наприклад, робітник працює вантажником. Але такий самий результат переміщення тіла можна отримати за рахунок не мускульної, а іншої сили, наприклад, електродвигуна підіймального крана. Таким чином, дія сили, однаковою за величиною, але різною за своєю природою, в першому і другому випадках однакова. Отже, доцільно ввести фізичну величину, яка б характеризувала дію сили при переміщенні, і тому в механіці мірою дії сили при переміщенні тіла є фізична величина, що називається роботою.

Спочатку розглянемо найпростіший випадок переміщення тіла під дією сталої сили. Наприклад, на тіло діє стала сила , під дією якої відбувається переміщення, модуль якого дорівнює , як вказано на рис.3.5.1. Очевидно, чим більша сила і чим більше переміщення, тим більша дія такої сили, тобто робота. Отже, робота сили повинна визначатись добутком сили на переміщення. А якщо напрям сили не співпадає з переміщенням? Звичайно, тоді роботу виконує тангенціальна (дотична) , складова сили, що співпадає з переміщенням, і тоді робота сталої сили визначається відомим співвідношенням

, (3.5.1)

де – кут між напрямом сили і переміщенням. Зрозуміло, що нормальна (перпендикулярна) складова роботи не виконує.

Одиницею роботи в системі СІ є 1 Дж (джоуль), який дорівнює роботі, здійснюваній силою 1Н на шляху 1м.

Скалярний добуток можна переписати у вигляді добутку проекції сили на напрям переміщення

. (3.5.2)

Якщо робота виконується змінною силою, то спочатку визначають елементарну роботу на такому малому переміщенні, , щоб силу вважати сталою і ця елементарна робота дорівнює

. (3.5.3)

Тоді вся робота дорівнює інтегральній сумі

. (3.5.4)

Наприклад, залежність сили від шляху задана деякою функцією, графік якої наведений на рис. 3.5.2.

Як видно з рис.3.5.2, елементарна робота чисельно дорівнює площі смужки з основою і висотою F, а вся робота буде чисельно дорівнювати сумі площ, тобто площі цієї криволінійної фігури.

Як найпростіший випадок роботи змінної сили можна розглядати роботу при деформації пружини, яка виконується силою, пропорційною зміщенню . Тоді робота такої змінної сили дорівнює

. (3.5.5)

Визначаючи елементарну роботу , ми користуємось математичним знаком диференціала . З математики відомо, що лише неперервна функція диференційована в кожній точці. А чи може робота, як неперервна функція, існувати в „точці”? Звичайно, ні. Отже, робота не є функція стану, вираз не є повним диференціалом неперервної функції, а вираз – це є елементарна робота, тобто робота при нескінченно малому переміщенні (але ні в якому випадку в точці).

Одна і та ж робота може бути виконана за різні проміжки часу, тому вводять фізичну величину, яка називається потужністю. Якщо за будь-які, але рівні проміжки часу, виконується однакова робота, то відношення цієї роботи за той час, за який дана робота виконана, називається потужністю.

. (3.5.6)

Якщо за рівні проміжки часу виконується неоднакова робота , то відношення

(3.5.7)

дає значення середньої потужності. Миттєва потужність визначається відношенням елементарної роботи за час до цього часу .

. (3.5.8)

Так як , то

. (3.5.9)

Наприклад, – сила тяги двигуна, – швидкість.

В системі СІ одиницею потужності є Вт (ват), 1Вт = 1 Дж/с. Поряд з цією одиницею потужності інколи (особливо для двигунів) користуються несистемною одиницею потужності – одна кінська сила, 1к.с. = 736 Вт.

3.6 Енергія. Загальний підхід до поняття енергії

Ми настільки звикли до терміну «енергія», що цей термін нам здається зрозумілим. Справді, з поняттям енергії пов’язане все наше сучасне життя. Тут і оплата за спожиту електроенергію, проблеми енергоносіїв, енергетична незалежність країни, нетрадиційні джерела енергії і т.д. Навіть екстрасенси говорять про потоки позитивної і негативної енергії. Але що таке енергія, тим більше, що таке потік енергії екстрасенс не знає, а говорить про потоки енергії для «науковості» своєї роботи. Так що ж таке енергія і як пояснює це поняття така фундаментальна наука як фізика? Для цього ми спочатку „забудемо” про слово енергія і самі підійдемо до фізичної величини, яку називають енергія. При цьому основний акцент будемо робити на фізичному змісті математичного опису явищ, відкладаючи на «потім» строгий вивід приведених формул, тим більше, що це відомі формули шкільного курсу фізики. Почнемо розглядати окремі процеси з наступної точки зору – що було до дії на тіло і який результат дії на це тіло, якою функцією чи формулою описується результат дії.

1. На тіло (візок) масою m починають діяти. Наприклад, людина, як вказано на рис.3.6.1, приклавши силу, починає штовхати візок. Як би людина не штовхала візок (з зупинками на відпочинок чи без них) кінцевий результат такий: тіло набуло швидкості і

виконана робота дорівнює:

. (3.6.1)

Погодьтесь, елементарна формула, але глянемо на цю формулу дещо з іншої точки зору. Ліва частина формули – це робота, яка не є функцією стану, робота сили – це процес, де має місце переміщення. У правій частині – результат такого процесу, результат роботи. На рисунку Ви бачите, що в кінці дії людина вже не штовхає візок, але візок набув швидкості, і він «пам’ятає» виконану над ним дію у формулі , тільки вже без роботи, все – робота закінчилась. Як тоді назвати формулу , яка дорівнює виконаній роботі (в Дж), але не є роботою? Назва цієї формули – кінетична енергія матеріальної точки або тіла при поступальному русі. Слово енергія з грецького значить дія. Отже, в перекладі на українську мову, кінетична енергія означає рухому дію Кінетична енергію матеріальної точки або тіла при поступальному русі є мірою цього руху і одиницями даної міри є Дж (одиниці роботи) так що зміна кінетичної енергія пов’язана з виконанням роботи:

. (3.6.2)

За рахунок кінетичної енергії може виконуватись робота, прикладів скільки завгодно. Так, в подальшому говорячи про нетрадиційні джерела енергії, буде наведений приклад виконання роботи за рахунок кінетичної енергії вітру.

Розглядаючи динаміку обертового руху буде показано, що зміна кутової швидкості обертового руху тіла теж пов’язана з виконання роботи, тому окремо вводиться поняття кінетичної енергії обертового руху тіла.

2. А тепер тіло масою m піднімаємо з висоти на висоту . Для цього необхідно виконати роботу

. (3.6.3)

І цю роботу, наприклад, виконує підіймальній кран, піднімаючи вантаж масою m, як вказано на рис.3.6.2. Так що ж відбулось у результаті такої дії над тілом? Швидкість не змінилась, а змінилось взаємне розташування тіл (вантаж – Земля) за рахунок виконаної роботи проти сил тяжіння Землі. І єдиною мірою для будь-якого положення тіла в полі тяжіння Землі є функція виду , зміна якої пов’язана з виконанням роботи. Якщо тіло буде під дією сил тяжіння опускатись вниз, то тепер сили тяжіння виконають таку саму роботу, як кран раніше піднімав це тіло вгору. І робота сил тяжіння буде теж визначатись різницею функцій виду . Тепер ця функція «говорить», що тіло може виконати роботу, здатне саме діяти, і назва цієї функції – потенціальна енергія тіла в полі тяжіння Землі.

. (3.6.4)

Справді, дуже влучна назва: потенціальна – potential (здатна, можлива), energy (дія). Отже, потенціальна енергія тіла в полі тяжіння Землі є мірою гравітаційної взаємодії тіла і Землі і цією мірою є одиниці роботи так що зміна потенціальної енергії пов’язана з виконанням роботи.

3. Прикладом потенціальної енергії, яка зумовлена іншими формами взаємодії може бути потенціальна енергія взаємодії електричних зарядів. Хоча це питання виходить за рамки механіки, все ж, для розуміння фізичного змісту енергії, розглянемо наступний приклад. При цьому запишемо кінцеві формули, опускаючи їх математичний вивід (вивід наводиться у розділі «Електрика і магнетизм»).

Попросимо людину, яка раніше штовхала візок, зайнятись іншою роботою. Дамо йому в руки тіло з електричним зарядом , яке він буде наближати до другого тіла зарядом (рис.3.6.3). Чим менша відстань між зарядами, тим більша сила взаємодії (закон Кулона). Отже, у даному випадку робота переміщення заряду – це робота змінної сили. В курсі електрики доведено, що ця робота не залежить від траєкторії переміщення заряду, а визначається різницею функцій виду:

, (3.6.5)

де – потенціал електричного поля, який вимірюється у В (вольтах). Нагадаємо, що одиницею заряду є Кл (кулон) і тоді .

Значить, людина виконала роботу проти сил електричного поля, наблизившись до другого заряду на відстань і вона повинна втримувати заряд, адже на нього діє кулонівська сила відштовхування. А що буде коли заряд відпустити, дати можливість рухатись в протилежному напрямі? Звичайно, тепер можливу роботу виконають сили електричного поля і ця робота теж визначається різницею функцій 3.4.6, які є мірою в джоулях взаємодії електричних зарядів і назва цієї міри – потенціальна енергія електричного заряду в електричному полі. Тобто, у перекладі на українську – можлива дія електричного поля на електричний заряд, дія в джоулях.

4. Розглядаючи роботу змінної сили, було показано, що робота деформації пружини визначається різницею функцій . Очевидно, що ця функція є потенціальною енергія пружно деформованого тіла. Дійсно, якщо «відпустити» деформоване то вона буде виконувати роботу. Мабуть, найпершим застосуванням людством потенціальної енергії пружної деформації був винахід луку, де стріла випускалась натягнутою тетивою.

5. Можна далі наводити багато прикладів, де єдиною мірою різних процесів є енергія. Так, заряджений до напруги U конденсатор ємністю C при розрядці може діяти, і ця дія визначається функцією виду , тобто ця функція є енергією електричного поля. Далі можна говорити про внутрішню енергію тіла, яка є мірою руху та взаємодії молекул тіла. І, нарешті, будь-яке тіло масою m може «діяти», і ця дія визначається співвідношенням, яке випливає зі спеціальної теорії відносності Ейнштейна:

, (3.6.6)

де – швидкість світла. Це співвідношення ще називають зв’язком маси і енергії. Розглянемо, як може діяти (яка енергія) 1 г будь-якої речовини:

.

Це багато чи мало? Підрахуємо, яку кількість бензину (його масу) треба спалити, щоб отримати енергію, яка «прихована» в одному грамі будь-якої речовини. Питома теплота згоряння бензину становить . Отже, по енергоздатності 1г будь якої речовини еквівалентний

,

або це становить 2250 тон. Якщо цистерна для перевезення нафтопродуктів вміщає близько 150 т бензину, то залізничний состав для перевезення 2250 т бензину складав би 15 цистерн (рис.3.6.4).

Ось що значить енергія, яка зосереджена в 1 г будь-якої речовини. Уявляєте, «паливом» для двигуна, який повністю використовує енергію є будь-яка речовина. Тільки як отримати таким способом енергію? Поки що фізика вказує на один можливий шлях такого способу – це анігіляція, так зване знищення речовини та антиречовини. Ми живемо у світі, де ядра атомів мають додатній заряд, а електрони – від’ємний: це у нашому розумінні речовина. А тепер уявіть речовину, де ядра мають від’ємний заряд, а електрони, які стають позитронами – додатній заряд. Речовина з таких атомів і буде антиречовиною. Разом: речовина та антиречовина існувати не можуть – вони анігілюють (щезають) і це щезнення супроводжується випромінюванням енергії, яке повністю дорівнює . Таким чином, щоб побудувати двигун, який працює на принципі анігіляції, треба мати антиречовину. Звичайно, на Землі, та і навіть у нашій галактиці, антиречовина відсутня. Якщо б навіть дістали «трошки» антиречовини, то де її зберігати, адже анігіляція з нашою речовиною неминуча. Так що практичне використання анігіляції, як джерела енергії, справа майбутнього. Тому ми спалюємо бензин, газ та інші органічні палива.

Таким чином, енергія – це єдина (спільна) м і ра різних форм руху і взаємодії матерії і цією м і рою є Дж (джоуль – одиниці роботи). Зміна енергії системи пов’язана з виконанням роботи.

Як бачите, ми дотримались принципу пояснення фізичного змісту такого фундаментального поняття як енергія, користуючись необхідними готовими формулами і, як було сказано, залишити їх вивід «на потім». Так ось настав час зайнятись виводами наведених окремих формул. В першу чергу, це стосується кінетичної енергії матеріальної точки.

3.7 Кінетична енергія матеріальної точки (тіла) при поступальному русі

Визначимо, яку роботу треба виконати, щоб матеріальна точка масою збільшила швидкість від до . Розглянемо загальний випадок – рух по довільній кривій під дією змінної сили (рис.3.7.1). Тому виберемо таке мале переміщення , щоб силу вважати сталою і елементарна робота на такому елементарному переміщенні буде дорівнювати

, (3.7.1)

де ом сили і переміщенням кут

або враховуючи що

, (3.7.2)

то

. (3.7.3)

Тобто, роботу виконує тангенціальна (дотична) складова сили, яка співпадає з швидкістю і змінює швидкість за величиною. Нормальна складова сили роботи не виконує, вона змінює лише швидкість за напрямом, надаючи нормального (доцентрового) прискорення. Тому визначимо роботу тангенціальної складової, яка, згідно другого закону Ньютона, надає тілу прискорення:

. (3.7.4)

Тоді елементарна робота такої сили дорівнює

. (3.7.5)

Так, як , то

. (3.7.6)

А вся робота визначиться як інтегральна сума

. (3.7.7)

Отже, для збільшення швидкості тіла за модулем треба виконати роботу, яка визначається функцією виду

(3.7.8)

і ця функція є кінетична енергія матеріальної точки або тіла при поступальному русі, яку було наведено без доведення у попередньому пункті 3.6.

3.8 Робота сил тяжіння. Потенціальна енергія тіла в полі тяжіння

З роботою си л тяжіння ми знайомі з самого раннього дитинства, коли вчинились ходити: часте падіння – це результат тяжіння, а набиті синці – це виконана робота силами тяжіння. Чомусь існує хибна думка, що сили тяжіння виконують роботу лише тоді, коли тіло падає вниз на землю. Тіло, кинуте вгору далеко не полетить (якщо це, звичайно, не друга космічна швидкість). У даному випадку сили тяжіння теж виконують роботи і їх напрям протилежний переміщенню. Тому з’ясуємо, від яких величин залежить робота переміщення одного тіла в полі тяжіння іншого тіла. Спочатку розглянемо переміщення матеріальної точки масою m в гравітаційному полі точки масою M так, що відстань між точками змінюється від до (рис.3.8.1). При такій зміні відстані змінюється сила гравітаційної взаємодії, тобто, у даному випадку маємо роботу змінної сили. Тому на траєкторії руху точки виберемо таке мале переміщення , щоб силу вважати сталою. Тоді елементарна робота такої сили на шляху дорівнює

. (3.8.1)

Щоб ще раз підкреслити, що сили тяжіння виконують роботу не тільки при зближенні тіл, але і при збільшенні відстані між ними, на рис.3.5.1 показано саме випадок збільшення відстані. При такому збільшення відстані кут між напрямом сили і переміщенням тупий і робота сили тяжіння на шляху буде від’ємною. Тому, щоб «побачити» цей знак «мінус», перейдемо до гострого кута між переміщення і силою за рахунок зміни напряму цієї сили на протилежний за напрямом, як вказано на рис. 3.8.1. Тоді елементарна робота сили тяжіння на шляху дорівнює

. (3.8.2)

При нескінченно малому переміщенні відстань між даними двома матеріальними точками змінюється на і, як видно з рисунку рис.3.5.1,

. (3.8.3)

Так як сила гравітаційного притягання між матеріальними точками описується законом тяжіння Ньютона

, (3.8.4)

то приходимо до кінцевого виразу елементарної роботи сил тяжіння при зміні відстані на між матеріальними точками:

. (3.8.5)

Вся робота дорівнює інтегральній сумі таких елементарних робіт:

. (3.8.6)

Отриманий результат говорить, що робота сил тяжіння при переміщенні в полі тяжіння матеріальної точки не залежить від траєкторії переміщення, а тільки від початкового та кінцевого положення точки. Поле, в якому робота сил цього поля не залежить від траєкторії переміщення називається потенціальним, а сили, які діють зі сторони цього поля – консервативні. (в розділі електрики буде показано, що електростатичне поле теж потенціальне).

Крім того, що отриманий результат встановлює потенціальний характер гравітаційного поля, він ще встановлює особливу характеристику поля, яка визначається функцією виду:

. (3.8.7)

І ця характеристика називається потенціалом гравітаційного поля. Тоді робота сил гравітаційного поля при переміщенні у ньому матеріальної точки визначається різницею потенціалів поля простим співвідношенням

. (3.8.8)

Якщо матеріальна точка під дією сил тяжіння переміщається з даної точки поля у нескінченно віддалену (), то робота сил тяжіння дорівнює

.

Якщо , то чисельно. Отже, потенціал гравітаційного поля у даній точці чисельно дорівнює роботі сил цього поля при переміщенні матеріальної точки одиничної маси з даної точки поля у нескінченно віддалену. Але ця робота може виконуватись або не виконуватись, отже, вираз визначає можливу дію, що на латині звучить як потенціальна енергія. Таким чином, потенціальна енергія гравітаційної взаємодії двох матеріальних точок масами та на відстані дорівнює:

. (3.8.9)

Ввівши поняття потенціальної енергії гравітаційної взаємодії тіл, робота сил тяжіння дорівнює з протилежним знаком спаду потенціальної енергії гравітаційної взаємодії цих тіл тіла

. (3.8.10)

В фізиці розрізняють приріст і спад деякої величини. Приріст – це різниця між кінцевим і початковим значенням, спад – різниця між початковим і кінцевим значеннями, хоча приріст може бути і від’ємним, а спад додатнім: в залежності від абсолютного значення величин.

Тепер, користуючись поняттям потенціалу гравітаційного поля, легко визначити роботу сил тяжіння Землі. Наприклад, матеріальна точка масою переміщається з точки 1, де висота над поверхнею Землі становить у точку 2 на висоті , як вказано на рис.3.8.2. Якщо потенціал першої точки , а другої , тоді робота сил тяжіння визначається співвідношенням 3.8.8. Що стосується значення потенціалу гравітаційного поля Землі на висоті , то тут варто згадати теорему Гауса. Так, раніше було показано, що гравітаційне поле Землі симетричне і, застосовуючи теорему Гауса, отримали важливий результат: при відстанях, які дорівнюють або більші радіуса Землі, гравітаційне поле Землі еквівалентне полю матеріальної точки маси планети, яка зосереджена у її центрі. Тому потенціал гравітаційного поля Землі у першій точці становить

, (3.8.11)

а у другій точці

. (3.8.12)

Підставивши ці значення в 3.8.11, будемо мати:

. (3.8.13)

Якщо та значно менше радіуса Землі, то

. (3.8.14)

Тоді

. (3.8.15)

Так як

, (3.8.16)

то отримуємо відому формулу роботи сил тяжіння в однорідному гравітаційному полі, де прискорення вільного падіння у всіх точках однакове:

. (3.8.17)

3.9 Закон збереження енергії в механіці

Найбільш загальний закон збереження, який справедливий для процесів будь-якої природи – це закон збереження і перетворення енергії, який стверджує, що

в замкнутій системі енергія може переходити з одних видів в інші і передаватись від одного тіла до другого, але її загальна кількість залишається незмінною.

В основі закону збереженняенергії лежить однорідність часу, тобто рівнозначність всіх моментів часу. Тут рівнозначність моментів часу треба розуміти, що заміна моменту часу моментом без зміни значень інших параметрів не змінює властивостей системи.

Можна показати, що в замкнутій системі тіл сили взаємодії, між якими є потенціальні (консервативні), відсутнє перетворення механічної енергії в інші види енергії. Такі системи називаються замкнутими консервативними системами. Для таких систем справедливий закон збереження енергії в механіці.

Механічна енергія замкнутої консервативної системи не змінюється в процесі її руху і є сталою величиною.

Для такої системи сума кінетичної та потенціальної енергій є сталою величиною

. (3.9.1)

Приклади застосування цього закону були наведені у попередніх розділах при розв’язуванні окремих задач з кінематики і динаміки.

Консервативна система – це ідеальний випадок, у ній відсутні втрати механічної енергії. У реальних системах завжди є втрати механічної енергії, де її частина переходить у внутрішню енергію. Так, при терті – тіла нагріваються. Системи, де є втрати механічної енергії, називаються дисипативними (від англійського To disappear – щезати ), влучна назва – частина механічної енергії «щезає»,але загальна кількість енергії залишається сталою.

Студенту, як тепер кажуть, «на засипку», дано наступне питання. Дві кульки, що мають різнойменні заряди, знаходяться на кінцях пружини, і кульки здійснюють коливання (рис.3.9.1). Ідеальний випадок – пружина непровідна і ідеально пружна, немає ніяких втрат механічної енергії при її деформації. При коливанні кульок теж відсутні будь-які втрати енергії на тертя (кульки у вакуумі). Якою буде така система консервативною чи дисипативною? Така система буде класичним прикладом дисипативної системи, адже система зарядів, що коливаються, не що інше, як генератор електромагнітних хвиль, де механічна енергія коливань зарядів перетворюється у енергію електромагнітного випромінювання.

Застосування закону збереження і перетворення енергії не тільки пояснює ряд явищ природи, але дозволяє виявити нові закономірності, передбачити нові явища. Яскравим прикладом такого є теоретичне передбачення існування нової елементарної частинки, названої нейтрино. Так, при бета-розпаді при перетворені нейтрона в протон з утворенням електрона виявилось, що частина енергії «щезає» і відповідальність за таке щезнення поклали на можливу частинку – нейтрино яку лише згодом було виявлено експериментально.

3.10 Застосування законів збереження до співудару двох тіл

Вище окремо було розглянуто фундаментальні закони збереження – закон збереження імпульсу та закон збереження енергії. На основі цих законів можна пояснити багато явищ і кількісно описати ці явища. Застосування цих законів в окремих випадках значно спрощує розв’язок окремих задач, про що Ви переконались на окремих прикладах з кінематики і динаміки.

Одне з важливих застосувань законів збереження – це співудар двох тіл. А саме, відомі маси тіл та їх швидкості до співудару, необхідно знайти швидкості після їх взаємодії.

Розглянемо два випадки: абсолютно не пружній удар та абсолютно пружній.

До взаємодії імпульс тіл, як замкнутої системи дорівнює:

. (3.10.1)

Після напруженої взаємодії тіла рухаються, як єдине ціле масою та з швидкістю і імпульс тіл становить:

, (3.10.2)

тоді, згідно закону збереження імпульсу:

, (3.10.3)

звідки шукана швидкість дорівнює

. (3.10.4)

Для практичних розрахунків співвідношення необхідно спроектувати на вибраний напрям. Згідно рис. 3.10.1, в проекціях на вісь ОХ будемо мати:

. (3.10.5)

При тіла рухаються в напрямі вибраної осі ОХ.

Якщо порівняти кінетичні енергії тіл до удару і після удару, то вони не рівні, частина механічної енергії «щезає», перетворюється у внутрішню енергію при недружній деформації. Визначимо цю різницю енергій:

. (3.10.6)

Тепер розглянемо абсолютно пружній удар, при чому обмежимось центральним ударом двох однорідних куль. Удар називається центральним, якщо кулі до удару рухаються вздовж прямої, яка проходить через їх центри. Відомі маси тіл , та їх швидкості , , до удару. Необхідно визначити швидкості цих тіл після удару (рис.3.10.2).

При такому пружному співударі виконуються закони збереження енергії та імпульсу

(3.10.7)

. (3.10.8)

Опускаючи громіздкий сумісний розв’язок системи цих двох рівнянь (пропонується зробити самостійно), запишемо кінцевий результат, який визначає швидкість кожного тіла після цього абсолютно пружного співудару:

, (3.10.9)

. (3.10.10)

Розглянемо окремий випадок, коли маси куль однакові. Тоді при , як випливає з (3.10.9) та (3.10.10), , , тобто кулі при співударі обмінюються швидкостями. Якщо ж друга куля до удару буде нерухома, то після удару вона почне рухатись з швидкістю першої. Приклад такої взаємодії двох кульок однакової маси наведений на рис.3.10.3. Перша кулька вдаряється об нерухому кульку і зупиняється, зате друга кулька починає рухатись з швидкістю першої кульки. Якраз такий випадок центрального пружного удару показаний на рис.3.10.4. при грі в більярд. Гравець ударяє перший шар, надаючи йому швидкості , після чого цей шар, вдаряючись об другий, нерухомий шар, зупиниться. Другий шар, набувши швидкості першого шару, попаде у лузу. Якщо говорити про гру у більярд, то центральний удар шарів найбільш простий елемент гри. Створена ціла науки гри в більярд і, між іншим, відомий фізик і математик Каріоліс іменем якого назване каріолісове прискорення (див. розділ кінематики) написав книжку «Математична теорія явищ більярдної гри».

Розглянутий абсолютно пружний удар – ідеальний випадок. При цьому удар поділяється на дві фази: фазу абсолютно пружної деформації тіла і фазу повного відновлення попередньої форми тіла. У більшості випадків повного відновлення попередньої форми тіл не наступає, що супроводжується втратами кінетичної енергії тіл. Тому для врахування втрат кінетичної енергії при ударах тіл вводять коефіцієнт відновлення, який визначають наступним чином. Так, якщо швидкість першого тіла до удару і ця швидкість при абсолютно пружному ударі входить у всі формули закону збереження енергії та імпульсу, то при реальній, не абсолютно пружній деформації, швидкість зменшиться до і саме ця зменшена швидкість буде визначати результат співудару з іншим тілом. Так само друге тіло не є абсолютно пружним, що приведе до зменшення швидкості з до . Відношення модуля різниці реальних швидкостей двох тіл до модуля різниці швидкостей цих самих, але тільки абсолютно пружних тіл і буде коефіцієнтом відновлення:

. (3.10.11)

Значення коефіцієнта відновлення для різних тіл визначається дослідним шляхом. Наприклад, для дерева , для сталі , для тенісного м’ячика , а для більярдної кульки, виготовленої з слонової кості .

Можна довести що з врахуванням коефіцієнта відновлення модулі швидкостей двох тіл після удару, вказаного на рисунку 3.7.2, будуть мати такі значення:

, (3.10.12)

. (3.10.13)

3.11 Основні напрями альтернативної енергетики

Скільки б років не налічувала історія людства, вона завжди пов’язана з енергетикою. Коли людині вже не вистачало власної біоенергетики (енергії власних м’язів), на допомогу прийшла більш потужна біоенергетика різних тварин. Так, важку роботу виконували коні, в Індії до праці залучались слони. Винайдення вітрил та вітряків дало початок використанню енергії вітру, а млини, що приводились в рух потоками води річок, мовою сучасної техніки – гідроенергетика. Енергія вітру або потоків води річок – відтворювані джерела енергії. Але людині, як кажуть, все мало, особливо енергії, і наступає, так званий, вік «пара» – вік парових двигунів, для роботи яких використовуються вже не відтворювані запаси енергії: вугілля чи дрова згоряють в топках теплових двигунів. Далі все більшого застосування знаходять нафтопродукти, які і сьогодні є одним з основних джерел енергії. Запаси нафти і газу, які природа створювала в своїх надрах сотнями тисяч років, в недалекому майбутньому закінчаться. Тому вже тепер на зміну традиційним джерелам енергії ведуться пошуки і впровадження, так званих, альтернативних джерел енергії. Альтернативні (від латинського alter), що значить інші, ніж традиційні джерела енергії, хоча навіть атомна енергетика у даний час, по суті, стала традиційною у світовій енергетиці Але запаси ядерного «пального» на Землі теж обмежені і, крім того, ядерна енергетика несе у собі потенціальну екологічну загрозу. Близьким до ідеального вирішенням енергетичної проблеми було б використання керованої термоядерної реакції, де використовується важкий і надважкий водень, запаси якого для роботи термоядерних реакцій практично необмежені. Але (знову те ж саме «але») поки що проблема керованої термоядерної реакція не вирішена. Тому доводиться проводити пошуки альтернативних джерел енергії, у першу чергу відновлюваних. До сучасних альтернативних джерел енергії можна віднести такі напрями енергетики у порядку їх найбільшого застосування:

1. Вітроенергетика

Сама назва вказує, що джерелом енергії є енергія рухомого повітря, тобто вітру.

2. Геліоенергетика

Геліоенергетика – буквально значить енергія, отримана від Сонця(від гелі ос – грецьк. Ήλιος, Helios – Сонце). В останньому розділі курсу фізики в темі «Теплове випромінювання» буде розглянуто питання про кількість енергії, яку отримує за одну секунду Земля від Сонця, тобто потужність сонячного випромінювання, і вона становить . Максимальну потужність, яку може дати 1 м² поверхні Землі з врахуванням поглинання атмосферою, становить 1 кВт. У даний час найбільш поширеним методом використання сонячної енергії є сонячні батареї – напівпровідникові фотоелементи, які безпосередньо перетворюють енергію світла в енергію електричного струму.

Геотермальна енергія (природне тепло Землі), акумульована в перших десятьох кілометрах Землі, в 10 разів перевищує геологічні ресурси усіх видів палива, разом узятих. Перше місце по виробленню електроенергії з гарячих гідротермальних джерел займає США. У долині Великих Гейзерів (штат Каліфорнія) на площі 52 км діє 15 установок, потужністю понад 900 МВт.

В Україні найбільш перспективними регіонами для використання геотермальної енергії є Крим, Закарпаття, Донецька, Полтавська, Харківська і Херсонська області.

1. Вітроенергетика

Повітряні потоки на Землі можна вважати невичерпними джерелами енергії. Останнім часом багато країн збільшують використання вітроенергетичних установок. Найбільше їх в країнах Західної Європи, так, Данія отримує 25% споживаної енергії з вітру. Принцип роботи вітроенергетичної установки дуже простий – це, по суті, вентилятор навпаки. Якщо електродвигун вентилятора обертає його лопасті, створюючи потік повітря, то у вітрогенераторі потік повітря (вітер) обертає лопасті, приводячи в рух генератор електричного струму. На рис.3.11.1 наведено загальний вигляд сучасної вітротурбіни Т 600-48 потужністю 600 кВт, яка починає працювати при швидкості вітру 3,5 м∕с і розрахована на максимальну швидкість вітру 65 м∕с. Діаметр ротора 48 м, висота 60 м.

Потужність вітрогенератора визначається наступним чином. Якщо за час повітряний потік масою при швидкості повністю віддасть свою кінетичну енергію вітрогенератору, то виконана робота дорівнює зміні кінетичній енергії від до нуля, і тоді потужність потоку повітря становить

. (3.11.1)

Виділимо потік повітря у вигляді циліндра, де площа його основи дорівнює площі обертання лопастей. Тоді маса повітря густиною в об’ємі такого циліндра дорівнює:

. (3.11.2)

В свою чергу, об’єм такого циліндра з твірною довжиною , яка є його висотою, знаходиться як добуток площі його основи на цю висоту:

. (3.11.3)

За час вітер з швидкістю пройде відстань , так що

. (3.11.4)

Послідовно підставивши останні формули в 3.8.1, отримаємо, що потужність повітряного потоку, який приводить в рух вітрогенератор, дорівнює

. (3.11.5)

При густині повітря та швидкості вітру лопасті радіуса , обертаючи генератор, будуть забезпечувати потужність 600 кВт.

2. Альтернативна гідроенергетика

Приливні електростанції

Внаслідок гравітаційної взаємодії між Землею і Місяцем в океанах двічі на добу викають приливи і відливи, при яких коливання рівня води може досягати 13 метрів. Тому, якщо такий рівень зберегти у водосховищі, перекритим греблею, а потім, під час відпливу, воду направити на турбіни, то це і буде приливна гідроелектростанція. Щоб забезпечити неперервність роботи такої приливної гідроелектростанції, частина енергії станції затрачається на закачування у водосховище додаткової кількості води. Тому такі приливні гідроелектростанції називають акумулюючими.

Найбільша у світі приливна електростанція Ля Ранс, гребля якої показана на рис 3.11.2, знаходиться у Франції. 24 турбіни цієї станції забезпечують потужність 240 МВт.

Хвильові електростанції

Електростанції такого типу використовують енергію морських або океанських хвиль. Перша у світі хвильова комерційна електростанція потужністю 2,25 МВт була збудована в Португалії в 2008 р. Така станція являє собою послідовно з’єднані плавучі багатотонні циліндри, які можуть вільно коливатись відносно місць їх з’єднань, як вказано на рис.3.11.3. Набігаючи, хвилі піднімають і опускають ці циліндри. Основна конструкторська трудність –знайти найбільш ефективний спосіб передачі енергії коливних рухів циліндрів генератору електричного струму, який позначений буквою Г на рис.3.11.3. На хвильовій станції у Пуртугаліїї коливний рух циліндрів приводить у дію гідравлічні насоси, які створюють потік рідини (масла), що обертає турбіну електрогенератора.

3.12 Короткий зміст основних питань законів збереження в механіці

1. Закон збереження імпульсу

Імпульс матеріальної точки – векторна величина і дорівнює добутку її маси на швидкість . Застосовуючи закони Ньютона для системи частинок, що утворюють замкнуту систему, доводиться закон збереження імпульсу:

геометрична сума імпульсів частинок замкнутої системи є величина стала:

.

Дата добавления: 2014-01-07