Критерій стійкості Гурвіца

Автоматична система управління, що описується характеристичним рівнянням

стійка, якщо при a₀ > 0 позитивні всі визначники D₁, D₂,…, D_n виду

, i = 1, 2, 3, …, n.

Якщо хоч би один з визначників, які називають визначниками Гурвіца, негативний, то система нестійка.

Визначники Гурвіца складають таким чином: на головній діагоналі записують всі коефіцієнти характеристичного рівняння від a₁ до a_i (в порядку зростання індексу), потім в кожному стовпці вище за діагональні елементи записують коефіцієнти з послідовно зростаючими індексами, а нижче - з послідовно убуваючими індексами; на місце з коефіцієнтами з індексами більшими за n або меншими нуля проставляють нулі. При цьому кожен i-й визначник виходить розміром i ´ i.

Якщо головний визначник дорівнює нулю ∆_n = 0, а решта всіх визначників позитивна, то система знаходиться на межі стійкості.

Оскільки останній стовпець головного визначника ∆_n містить завжди тільки один елемент a_n, відмінний від нуля, то згідно відомій властивості визначників: ∆_n = a_n*∆_n-1.

Умова ∆_n = 0 розпадається на два: a_n = 0 або ∆_n-1 = 0.

Умова a_n = 0 відповідає один нульовий корінь, тобто аперіодична межа стійкості, а умові ∆_n-1 = 0 – пара уявних коренів, тобто коливальна межа стійкості.

Дата добавления: 2014-01-07