Загальне поняття про області стійкості

Застосування критеріїв стійкості дозволяє встановити факт стійкості або нестійкості системи, всі параметри якої задані. Проте часто при проектуванні і наладці систем виникає більш загальне завдання аналізу стійкості - визначення допустимих (по умові стійкості) меж зміни деяких параметрів системи. В якості варійованих параметрах зазвичай виступають коефіцієнти передачі і постійні часу керуючого пристрою, які можна цілеспрямовано змінювати при настройці системи. Іноді допустимі межі зміни визначають і для параметрів об'єкту (якщо останні змінюються при роботі системи в процесі експлуатації). Допустимі межі варіювання параметрів системи можна визначити шляхом побудови областей стійкості.

Областю стійкості називають область в просторі варійованих параметрів, кожній точці якої відповідає тільки ліві корені характеристичного рівняння. Область стійкості виділяє зі всіх можливих значень варійованих параметрів лише ті значення, при яких система стійка. Поверхня, що обмежує область стійкості називається межею області стійкості.

На рисунку показана область стійкості, побудована в просторі двох коефіцієнтів характеристичного рівняння a_i і a_k. Кожній точці, що знаходиться нижче заштрихованої кривої (точка A’), відповідає тільки ліві корені, наприклад p₁’ и p₂’. Будь якій крапці, що знаходиться вище за криву (наприклад точка A”) обов'язково відповідає хоч би один дійсний або пара комплексних коренів, розташованого справа (корені p₁”’ и p₂”’).

Межею області стійкості в даному прикладі є заштрихована крива. Кожній точці цієї кривої (наприклад, A”) відповідає пара чисто уявного коріння (точки p1” і p2”).

Межа області стійкості в принципі може бути знайдена шляхом багатократного застосування одного з критеріїв стійкості, при різних значеннях варійованих параметрів. Проте ефективнішим способом відшукання меж областей стійкості є метод D-разбиения.

Метод D-розбиття.

Нехай система описується характеристичним рівнянням:

а₀pⁿ + а₁p^n-1 + а₂p^n-2 +…+ a_n = 0.

Розташування всіх n коренів характеристичного рівняння на комплексній площині a - jb залежить від значень коефіцієнтів a₀, a₁, a₂,…, a_n. У загальному випадку в просторі варійованих параметрів (коефіцієнтів) існують такі значення коефіцієнтів, при якому l корені розташовані справа, а (n - l) кореня - зліва від уявної осі jb. Сукупність всіх таких значень утворює в просторі коефіцієнтів область, яку можна позначити D (n–l; l). Існують області з іншим розподілом коренів:

D (n–l – 1; l + 1)

D (n–l – 2; l + 2)

Область D (n; 0) є областю стійкості. Процес побудови в просторі параметрів (або коефіцієнтів) областей з різним розподілом коренів називається D-розбиттям. Лінії, що розмежовують ці області називаються кривими D-розбиття.

Перехід з однієї області в іншу область простору коефіцієнтів відповідає переходу одного дійсного або пари комплексних коренів через уявну вісь jβ. Отже, кожній точці, що знаходиться на межі між двома областями, відповідають або нульовий корінь р = 0, або пара чисто уявних коренів р = ± jβ. Тому криву D-розбиття можна розглядати як відображення уявної осі площини коріння. Вказана особливість кривих D-розбиття використовується при відшуканні їх рівнянь. Для цього в характеристичне рівняння підставляють р = jβ або р = jω і розв’язують рівняння щодо варійованих параметрів. Сукупність значень варійованих параметрів, відповідних всім можливим значенням ω (від -∞ до +∞), дає всі точки кривої D-розбиття. Виділення області D (п; 0) серед решти областей проводять за допомогою спеціальної процедури - штрихування кривих D-розбиття..

Побудова області стійкості по одному параметру.

Хай варійований параметр l входить в характеристичне рівняння системи лінійно:

F(p) = lA(p) + B(p) = 0,

A(p) та B(p) – степені поліноми від p.

Підставляючи в це рівняння p = jw і розв’язуючи його щодо параметра l отримаємо

При зміні w від 0 до ¥ отримуємо в системі координат P(w) – jQ(w) криву D-розбиття.

Оскільки складова P(w) завжди парна, а Q(w) - непарна функція змінної w, то крива D-розбиття завжди симетрична щодо дійсної осі P(w). Тому при побудові області стійкості досить знайти лише одну гілку кривої D-розбиття, відповідну, наприклад, позитивним значенням w, а другу гілку можна нанести як дзеркальне відображення першої.

Крива D-розбиття ділить площину параметра l на декілька областей, відповідних різним варіантам розташування кореня. Виділити з цих областей область стійкості D(n; 0) можна за допомогою штрихування. Правило штрихування засноване на тому, що крива D-розбиття є відображенням уявної осі площини коренів. У системі координат a-jb область стійкості знаходиться зліва від уявної осі jb, і вісь прийнято штрихувати зліва при русі уздовж осі від -¥ до +¥. У теорії функцій комплексної змінної доведено, що в площині варійованого параметра область стійкості також знаходиться зліва від кривій D-розбиття. Відповідно криву D-розбиття також штрихують зліва при русі уподовж кривої від -¥ до +¥.

Після нанесення штрихування виявляють область з найбільшим числом лівих коренів. При цьому враховують, що кожному переходу із заштрихованого боку кривої D-розбиття на не заштриховану сторону (див. рис. стрілка 1) відповідає перехід одного кореня з лівої напівплощини в праву, а перетину кривої D-разбиения у зворотному напрямі (див. рис. стрілка 2) відповідає перехід одного кореня з правої напівплощини в ліву. Переходячи послідовно з однієї області в іншу, можна виявити область з найбільшим числом лівих коренів [див. рис. область D(п; 0) ]. Після цього за допомогою одного з критеріїв необхідно перевірити, чи є виявлена область областю стійкості, тобто перевірити, чи всі коріння ліві.

Побудова області стійкості по двох параметрах.

Розглянемо випадок впливу двох параметрів на стійкість системи. При цьому решта всіх параметрів системи повинна бути задані. В якості варійованих параметрів, як правило, приймають постійну часу Т одного з конструктивних елементів системи і передавальний коефіцієнт k розімкненого контуру або одного з елементів. Варійовані параметри k і Т повинні входити в характеристичне рівняння системи лінійно, тобто рівняння не містить перемножень k і Т і їх ступенів вище першою. Характеристичне рівняння може бути представлене в наступному вигляді:

, (1)

де A(p), B(p), C(p) - поліноми від р, коефіцієнти яких не залежать від k і Т.

Якщо варійовані параметри входять в рівняння нелінійно, то слід ввести такі дві нові змінні, які були б функціонально пов'язані з k і Т і входили б в рівняння лінійно.

Згідно загальній методиці D-розбиття підставимо в характеристичне рівняння (1) замість змінній р уявний корінь jω. Тоді отримаємо тотожність

, (2)

яке при кожному фіксованому значенні ω можна розглядати як рівняння з невідомими k і Т.

Кожен з трьох поліномів, що входять в рівняння (2), після зведення jω в парні і непарні ступені можна представити у вигляді суми дійсної і уявної частин:

(3)

Підставляючи (3) в (2) і групуючи дійсні і уявні доданки, отримаємо

(4)

Відомо, що комплексна величина дорівнює нулю тоді, коли одночасно дорівнюють нулю її дійсна і уявна частини. Тому, умова (4) еквівалентна двом рівнянням:

(5)

Ця система двох рівнянь дає можливість визначити для кожного фіксованого значення ω два невідомих k і Т.

Для вирішення системи (5) скористаємося методом визначників:

(6)

(7)

де

; (8)

; (9)

. (10)

Вирази (6) і (7) є рівнянням кривої D-розбиття, заданим в параметричній формі. Підставляючи в ці вирази різні значення параметра ω (у діапазоні від -до + ), можна побудувати основну межу області стійкості (рис. крива АВС).

Оскільки поліноми А₁(ω), В₁(ω), С₁(ω) - парні функції, а поліноми А₂(ω), В₂(ω), С₂(ω) - непарні, то визначники Δ, Δ₁ і Δ₂ є непарними функціями змінної ω; відповідно f₁(ω) і f ₂ (ω) - парні функції ω. З цього виходить, що крива D-розбиття при зміні ω від - до + проходить двічі через одні і ті ж точки: перший раз при зміні ω від -до 0 і другий раз - при зміні ω від 0 до + .

Рисунок Область стійкості в площині двох параметрів.

Крива D-розбиття, побудована в площині двох параметрів, штрихується за наступним правилом:

якщо головний визначник Δ > 0, то штрихування наноситься зліва (при русі уподовж кривої у бік збільшення ω); якщо визначник Δ< 0, то штрихування наноситься справа. Це правило сформульоване стосовно цілком певного порядку побудови кривої D-розбиття: рівняння, що виходить від прирівнювання до нуля дійсної частини, повинне бути записане в першому рядку системи (5); параметр, що стоїть на першому місці, необхідно відкладати по осі абсцис.

Оскільки при проходженні змінної ω через нуль знак головного визначника Δ міняється на протилежний, то штрихування кривої D-розбиття завжди подвійне.

Рівняння (5) визначають в площині k - T одну єдину крапку (при фіксованому значенні ω) лише у тих випадках, коли ці рівняння сумісні і лінійно незалежні, тобто коли визначники Δ, Δ₁ і Δ₂ не дорівнюють нулю. Якщо ж при деякому значенні ω всі три визначники одночасно звертаються в нуль або нескінченність, то рішення (6) і (7) стають невизначеними. Це означає, що при даному значенні ω рівняння (5) еквівалентні, тобто одне відрізняється від іншого на постійний множник. У системі координат k - Т таким «винятковим» значенням ω_И відповідають так звані особливі прямі (див. рис., прямі ВF, АЕ і СЕ). Рівнянням персоною прямої може служити будь-яке з рівнянь (5):

, (11)

де ω_И - "виняткові" частоти, при яких всі три визначники Δ, Δ₁ і Δ₂ одночасно звертаються в нуль або в нескінченність і рішення (6) і (7) стають невизначеними.

У багатьох практичних завданнях параметри k і Т входять в старший коефіцієнт a₀ або вільний коефіцієнт a_n характеристичного рівняння системи. В цьому випадку рівняння двох особливих прямих отримують прирівнюванням вказаних коефіцієнтів до нуля:

; . (12)

Перше рівняння відповідає ω_И = 0, а друге - ω_И = .

Штрихування особливих прямих виконують по наступних правилах. Особливі прямі, відповідні ω_И = 0 і ω_И = , штрихують один раз (прямі АЕ і СЕ), а прямі, відповідні 0 < ω < , штрихують двічі (прямі ВF). В точках перетину (або сполучення) персоною прямої з кривій D-розбиття, відповідних ω = ω_И, заштриховані сторони прямої і кривої повинні бути звернені один до одного (точки А,В,С). Причому, якщо в точці перетину визначник Δ міняє знак, то штрихування персоною прямої переходить на протилежну сторону прямої, якщо ж знак визначника не міняється, то напрям штрихування залишається тим самим.

Після нанесення штрихування виявляють області з найбільшим числом лівого коріння.

Дата добавления: 2014-01-07