Лекція 21

ОПТИМІЗАЦІЙНІ МЕТОДИ В КОНСТРУКТОРСЬКОМУ ПРОЕКТУВАННІ ЕЛЕКТРОННИХ АПАРАТІВ.

Ще порівняно недавно при проектуванні не прагнули до відшукання обов'язково оптимальної системи. Завдання проектування вважалася успішно вирішеною, якщо вдавалося знайти якусь строго допустиму систему. Однак в останні роки стає все більш актуальною проблема створення не тільки строго допустимих, а й оптимальних систем. З чим же це пов'язано?

Це пов'язано з тим, що з кожним роком зростають вимоги до ЕА, час і кошти, що витрачаються на їх виготовлення. Більш докладно ці питання ми вже розглядали в першій лекції. На яких же етапах найбільш доцільно проводити оптимізацію?

Оптимізація системи здійснюється звичайно як на етапах ескізного проекту, так і на всіх наступних етапах. Однак найбільш доцільно оптимізацію в якомога більшою мірою здійснити на самих ранніх етапах розробки, так як при цьому вона може бути найбільш радикальною і вимагає менше економічних витрат.

Оптимізація системи здійснюється зазвичай колективом, очолюваним головним конструктором, шляхом поєднання эвристичних їм математичних методів. Сутність математичних методів полягає у математичному формулюванні сукупності вихідних даних і критерію переваги і відшукання чисто математичним шляхом оптимального рішення. У чому ж обмеженість цього методу? Кожен математичний метод, навіть заснований на застосуванні ЕОМ, вимагає дуже істотних ідеалізацій. Тому вирішити успішно задачу оптимізації можна тільки шляхом вмілого поєднання методів математичного синтезу з эвристичними методами - складний і різноманітний творчий процес, що полягає в знаходженні прийнятних рішень на основі використання накопичених даних, власного інженерного досвіду, наближених розрахунків, інженерної інтуїції і творчих здібностей членів колективу.

За останні роки наука приділяє все велику увагу питанням організації та управління; це обумовлено цілою низкою причин. Швидкий розвиток і ускладнення техніки, збільшення масштабом і вартості проведених заходів, широке впровадження автоматизації - все це призводить до необхідності наукового аналізу складних цілеспрямованих процесів щодо їх структури та організації. Від науки потрібно рекомендації по оптимальному управлінню такими процесами. Наприклад, при аналізі надійності ЕА ми бачили, що досягти необхідних величин показників надійності можна застосовуючи різні методи і кратності резервування. Часто є випадки, коли необхідно забезпечити величину надійності при наявності обмежень по масі, споживання енергії та ін. Рішення подібних завдань базується на методах оптимізації. Ці методи входять до складу нового розділу науки «Дослідження операцій». Це порівняно молода наука. Її виникнення зазвичай відносять до років другої світової війни, коли в збройних силах США та Англії були сформовані спеціальні наукові групи для підготовки рішень щодо способів організації та забезпечення бойових дій.

Постановка завдання дослідження операцій:

Під операцією в подальшому будемо розуміти будь-який захід (або систему дій), об'єднане єдиним задумом або спрямоване до досягнення певної мети.

Всякий певний вибір залежних від нас параметрів ми будемо називати рішенням. Рішення можуть бути вдалими і невдалими. Оптимальними називаються рішення, які з тих чи інших міркувань, краще інших.

Основне завдання дослідження операцій - попереднє кількісне обґрунтування оптимальних рішень.

Зауважимо, що саме прийняття рішення виходить за рамки дослідження операцій і відноситься до компетенції відповідальної особи (або групи осіб), яким надано право вибору. При цьому відповідальні за нього особи можуть враховувати поряд з рекомендаціями з математичного розрахунку, ще ряд міркувань, які не ставить собі завданням повну автоматизацію прийняття рішень, повне виключення з цього процесу роздумуючи, оцінює, критикує людської свідомості. В кінцевому підсумку рішення завжди приймає людина, завдання дослідження операцій - підготувати кількісні дані та рекомендації, що полегшують людині прийняття рішень.

Необхідною умовою корисності дослідження, застосовуваного для обгрунтування рішення, є правильний вибір показника ефективності (цільової функції). Чимало операції виконуються в умовах, що містять елемент випадковості. Як же поступати в цих випадках? У цих випадках результат операції, навіть організованою суворо певним чином, не може бути точно передбачений, залишається випадковим. Якщо це так, то в якості показника ефективності вибирається не просто характеристика результату операції, а її середнє значення. В інших випадках, коли завданням операції є здійснення цілком певної події, в якості показника ефективності беруть ймовірність цієї події.

Розглянемо задачу дослідження операцій в загальній постановці, безвідносно до виду та мети операції.

Нехай є деяка операція О, тобто керований захід, на результат якого ми можемо певною мірою впливати, вибираючи тим, чи іншим способом залежні від нас параметри. Ефективність операції характеризується якимось чисельним критерієм або показником, який потрібно перетворити на максимум. Припустимо, що тим чи іншим способом математична модель операції побудована, вона дозволяє обчислити показник ефективності W при будь-якому прийнятому рішенні, для будь-якої сукупності умов, в яких виконується операція.

Розглянемо спочатку найбільш простий випадок: всі фактори, від яких залежить успіх операції, діляться на дві групи:

- Задані заздалегідь відомі фактори (умови проведення операції) a₁, a₂,… на які ми впливати не можемо;

- Залежні від нас фактори (елементи рішення) Х₁, Х₂,..., які ми у відомих межах можемо вибирати на свій розсуд.

Цей випадок, в якому фактори, що впливають на результат операції або заздалегідь відомі, або залежать від нас, ми будемо називати детермінованими.

Показник ефективності W залежить від обох груп факторів: як від заданих умов, так і від елементів рішення. Запишемо цю залежність у вигляді символічної формули:

W = W(a₁, a₂,…, x₁, x₂,…).

Тоді завдання дослідження операцій можна математично сформулювати так: При заданих умовах a₁, a₂,… знайти такі елементи рішення Х₁, Х₂,..., які звертають показник W в максимум.

Перед нами типово математична задача, що відноситься до класу, так званих, варіаційних задач. Методи вирішення таких завдань детально розроблені в математиці. Найпростіші з цих методів (завдання на максимум і мінімум) добре відомі кожному інженеру. Для знаходження максимуму і мінімуму функції потрібно продиференціювати її по аргументу (або аргументам), прирівняти похідні до нуля і вирішувати отриману систему рівнянь.

Цей простий метод в задачах дослідження операцій має обмежене застосування. Причин цього кілька:

1) Коли аргументів Х₁, Х₂,... багато (а це типово для цього класу задач), спільне рішення системи рівнянь, отриманих диференціювання основних залежностей, часто виявляється не простіше, а складніше, ніж безпосередній пошук екстремуму.

2) У разі, коли на елементи рішення Х₁, Х₂,... накладені обмеження, часто екстремум спостерігається не в точці, де похідні звертаються в нуль, а на кордоні області можливих рішень. Виникає специфічна для дослідження операцій математична задача «пошуку екстремуму при наявності обмежень», не вкладається в схему класичних варіаційних методів.

3) Нарешті, похідних, про які йде мова, може зовсім не існувати, наприклад, якщо аргументи Х₁, Х₂,... змінюються не безперервно, а дискретно, або ж сама функція W має особливості.

Загальних математичних методів знаходження екстремумів функцій будь-якого виду при наявності обмежень не існує. Однак для випадків, коли функція та обмеження мають певні властивості, сучасна математика пропонує ряд спеціальних методів. Наприклад, якщо показник ефективності W залежить від елементів рішення Х₁, Х₂,... лінійно та обмеження, накладені на Х₁, Х₂,..., також мають вигляд лінійних рівностей (або нерівностей), максимум функції знаходиться за допомогою спеціального апарату, так званого лінійного програмування.

Якщо операція природним чином розчленовується на ряд «кроків» або «етапів», а показник ефективності W виражається у вигляді суми або добутку показників w_i, досягнутих за окремі етапи, для знаходження рішення, що забезпечує максимальну ефективність, може бути застосований метод динамічного програмування і т. д.

Ми спочатку розглянули найпростіший випадок, повністю детермінований, коли всі умови операції відомі, а вибір рішення призводить до цілком певному значенню показника ефективності. На жаль, цей простий випадок не так вже й часто зустрічається на практиці. Набагато більш типовий випадок, коли всі умови, в яких буде проводитися операція, відомі заздалегідь, а деякі з них містять елемент невизначеності (наприклад, метеоумови).

У подібних випадках часто ефективність операції залежить не від двох, а від трьох категорій факторів: умови виконання операції a₁, a₂,…, які відомі заздалегідь, невідомі умови чи вектори У₁, У₂,..., елементи рішення Х₁, Х₂,..., які нам належить вибрати. Запишемо це в загальному вигляді:

W = W(a₁, a₂,…; У_1, У₂,…; Х_1, Х₂,…).

Задачу вибору рішення в цьому випадку можна сформулювати так:

- При заданих умовах a₁, a₂,…, з урахуванням невідомих факторів

У₁, У₂...., знайти такі елементи рішення Х₁, Х₂,..., які по можливості звертали в максимум показник W.

Наявність невідомих факторів У₁, У₂,... переводить нашу задачу в категорію завдань про вибір рішення в умовах невизначеності.

Один з видних зарубіжних фахівців - Т. Л. Сааті в книзі «Математичні методи дослідження операцій» дає своєму предмету наступне іронічне визначення: «дослідження операцій є мистецтво давати погані відповіді на ті практичні питання, на які даються ще гірші відповіді іншими методами».

Відповідні в цьому випадку методи істотно залежать від того, яка природа невідомих факторів У₁, У₂,... і які орієнтовані відомості ми про них маємо. Найбільш простим і сприятливим для розрахунків є випадок, коли невідомі чинники У₁, У₂,... є випадкові величини (або випадкові функції), про які є статистичні дані, що характеризують їх розподіл. В цьому випадку для оптимізації рішення може бути застосований один з двох прийомів: 1. штучне зведення до детермінованою схемою, 2. «Оптимізація в середньому».

Перший прийом зводиться до того, що імовірнісна картина явища наближено замінюється детермінованою. Для цього всі беруть участь в задачі випадкові фактори У₁, У₂,... наближено замінюються невипадковими

(як правило, їх математичними очікуваннями). Цей прийом застосовується переважно в грубих орієнтовних розрахунках, коли діапазон випадкових змін величин У₁, У₂,... порівняно малий.

Другий прийом (оптимізація в середньому), складніший, застосовується, коли випадкові величини мають великий розкид і заміна їх математичним очікуванням може привести до великих помилок. Наприклад, нехай показник ефективності W істотно залежить від випадкових факторів У₁, У₂,..., припустимо, що нам відомо розподіл цих факторів, припустимо, що операція виконується багато разів, причому умови У₁, У₂,... змінюються від разу до разу випадковим чином. Яке рішення Х₁, Х₂,... слід вибрати? Очевидно те, при якому операція в середньому буде найбільш ефективна, тобто математичне очікування показника ефективності буде максимальним. Це і є оптимізація в середньому.

Найбільш важким для дослідника є той випадок невизначеності, коли невідомі чинники У₁, У₂,... не можуть бути описані за допомогою статистичних методів (відсутні дані). У подібних випадках рекомендується розглянути весь діапазон можливих умов і скласти уявлення про те, яка ефективність операції в цьому діапазоні. Таке рішення, оптимальне для даної сукупності умов y₁, y₂,... називається локально-оптимальним. Сукупність локально-оптимальних рішень для всього діапазону умов У₁, У₂,... дає нам уявлення про те, як ми повинні були поступити, якби невідомі умови були б нам в точності.

Є ще випадки прийняття рішень в конфліктних ситуаціях, коли невідомі параметри У₁, У₂,... залежать не від об'єктивних обставин, а від активно протидіючого нам противника (військові дії, спорт, конкурентна боротьба). При виборі рішення в подібних випадках використовуються математичний апарат теорії ігор - математичної теорії конфліктних ситуацій. Моделі конфліктних ситуацій засновані на припущенні, що ми маємо справу з розумним противником, завжди вибирають свою поведінку найгіршим для нас (найкращим для себе) чином.

Класифікація методів оптимізації.

Отже, методами відшукання оптимальних рішень займається спеціальний розділ математики, що перетворився в самостійний напрям-дослідження операцій. Одним з цих методів є методи математичного програмування.

Вид математичного програмування залежить від форми моделі, кількості етапів, наявності та виду обмежень. Методи математичного програмування діляться на дві групи: аналітичні й чисельні.

До аналітичних відносяться: диференціальне та операційне числення, метод множників Лагранжа, принцип максимуму Лондрягіна та ін. До числовим методам: динамічне програмування, лінійне і нелінійне програмування, методи регулярного і випадкового пошуку.

Класичні методи пошуку екстремуму. Оптимізація диференціюванням (аналітична).

Є функція (цільова) U = F (x₁, x₂,..., x_n) i = 1, n. Вона повинна бути диференційована. Знаходження оптимуму функції здійснюється шляхом розв'язання системи рівнянь:

Метод множників Лагранжа.

Застосовується при наявності функціональних обмежень. Суть методу: Потрібно знайти оптимум функції декількох n змінних U = F (x₁, x₂,..., x_n). Ці змінні не незалежні між собою, а пов'язані додатковими умовами (обмеженнями). Число умов k <n.

Const = f_j = f_j(x₁, x₂,…, x_n) Þ, j = 1,k.

Оптимізуюча функція повинна бути диференційована, т. е.

Вводять k невизначених множників l _l і розглядають таку функцію n + k змінних:

Ф(x₁, x₂,…, x_n, l₁,…, l_k) = F(x₁, x₂,…, x_n)+l₁Y₁(x₁, x₂,…, x_n)+…+l_kY_k(x₁, x₂,…, x_n).

Необхідні умови максимуму або мінімуму функції Ф (...) дають систему n + k рівнянь з невідомими X₁, X₂,..., X_n,, l₁,…, l_k.

Ці рівняння мають вигляд:

Рішення, що задовольняють цим рівнянням, дають оптимум функції

F (X...). Множники l _l і називаються множниками Лагранжа. Для різних рівнянь вони різні. Строго кажучи, метод множників Лагранжа застосуємо лише в тих випадках, коли додаткові умови (обмеження) задані у вигляді рівностей, а аргументи Х₁, Х₂,..., Х_n безперервні.

Дата добавления: 2014-01-07