Збіжність інтерполяційних процесів

Формула залишкового члена інтерполяційного многочлена Лагранжа

Обумовленість СЛАР, число обумовленості

Розв’яжемо як зв’язні відносні похибки розвязку правої частини

Перемножимо нерівності (6) і (7)

(9) при чому. (2)

(3) інтерполяційний многочлен Ньютона для рівновіддалених вузлів.

Заміна змінної:

;

;

. (3)

Так,як при записі многочлена Ньютона порядок вузлів не є важливим, то ми можемо записати інтерполяційний многочлен Ньютона для інтерполяції назад ввівши заміну змінної:

;;

;

;

; (4)

(4) – формула інтерполяційного многочлена Ньютона у випадку рівномірно віддалених вузлів.

Формулу (4) використовують для знаходження наближеного значення функції, яка є близька до.

-1

;

Побудова многочлена Ньютона для інтерполяцій назад:

;

Побудова інтерполяційного многочлена Ньютона через розділені різниці для функції:

-1

;

У випадку коли заміняємо на.

̶ похибка інтерполювання

̶ залишковий член інтерполяційного многочлена

Оцінимо дану похибку в

Для цього ми введемо в розгляд функцію:

(1)

Де k-const

(2)

Необхідно оцінити в,

̶ який не э вузлом інтерполяції

k в (1) будемо шукати з припущення, що для тієї точки, для якої проводимо оцінку.

;

має Неперервну похідну на проміжку [a,b], а функція має менше ніж нули на [a,b].

Всіх відомих значень є для вузла інтерполяції.

Тоді потрібно побудувати алгебраїчний многочлен степеня n, де, для якого в одночас будуть виконуватись:

,, (1)

Такий многочлен, який задовольняє рівняння (1) називається інтерполяційний многочлен Ерміта.

Він буде мати вигляд:

Для відшукання коеф нам потрібно розв’язати лінійну алгебраїчну систему, яка випливає із рівності (1).

̶ назив кратністю вузла.

Число рівнянь системи (1) =.

При побудові кожного інтерполяційного многочлена виникає питання, чи буде збігатися до 0 похибка інтерполяції, якщо кількість вузлів необмежено збільшувати?

, при.

При збільшенні вузлів інтерполяції не завжди похибка, але якщо за вузли інтерполяції взяти корені многочлена Чебешева 1-го роду, то інтерполяційний процес може бути збіжним.

Означення(збіжності інтер. процесу).

Множину вузлів з проміжку, які є впорядкованими

До цих пір ми розглядали скінченні сітки, які складалися з скінченної кількості вузлів. Тепер розглянемо множину точок, у якої кількість вузлів буде зростати:

Нехай функція є визначеною і неперервною на проміжку. Тоді можемо задати послідовність інтерполяційних многочленів, побудованих для функцій, по x значення.

Інтерполяційний многочлен є збіжним в точці, якщо виконується.

Рівномірна збіжність має місце, якщо.

Властивість збіжності буде щалежати від двох факторів:

1. Від вибору сіток інтерполяції;

2. Від гладкості функції, яку ми наближаємо.

Теорема.

Якщо функція є нескінченне число разів диференційованою і всі її похідні обмежені на,,,, тоді – збігається рівномірно до на.

Теорема(Фабера).

Якою б не була послідовність сіток, знайдеться така функція на проміжку, що послідовність інтерполяційних многочленів не збігається рівномірно до функції на цьому проміжку.

Теорема(Марцікевича).

Якщо функція є неперервна на, то можемо підібрати таку послідовність сіток, для якої інтерполяційний многочлен буде збігатися рівномірно на заданому проміжку.

Як наслідок:

Якщо функція є цілою функцією, тобто її можна представити у виді то послідовність буде рівномірно збігатися до функції на.

Дата добавления: 2014-01-07