Граничні умови на поверхні поділу діелектриків

Рівняння Пуассона і Лапласа.

Потенціал поля точкового заряду.

Знайдемо потенціал поля точкового заряду в середовищі з відносною діелектричною проникністю, для цього скористаємось відношенням:

(1)

– напруженість електричного поля точкового заряду.

Підставивши (2) в (1) отримаємо:

(2)

(3)

Постійну інтегрування С знайдемо із граничних умов:

(4)

(5)

Враховуючи (5):

(6)

Якщо потенціал створюється сукупністю точок зарядів, то справедливий принцип суперпозиції: потенціал сукупності точкових зарядів дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів окремих зарядів.

(7)

,де (8)

У випадку:

У випадку заряду розміщеного по об’єму, його слід розбити на елементарні заряди скориставшись диференціюванням по об’єму.

(10)

(10) – Потенціал поля об’ємного заряду.

У випадку поверхневого та лінійного зарядів маємо:

(11)

(12)

По відомому потенціалу легко можна знайти напруженість поля:

(13)

В загальному випадку для розрахунку електричного поля використовують рівняння Пуассона.

Відомо, що електричне поле створене зарядами:

(1)

Також відомо, що електростатичне поле є полем потенціальним, тому можна ввести електростатичний потенціал:

(2)

Також відомо, що електрична індукція і напруженість поля зв’язані співвідношенням:

(3)

Ппідставляючи (2) і (3) в (1), отримаємо:

(4)

Якщо середовище однорідне та ізотропне, то, а (4) можна записати так:

(5)

(6)

(7)

(7) – оператор Лапласа.

Враховуючи (7) із (6) отримаємо рівняння Пуассона:

- (8)

Це рівняння по відношенню розподілу густини заряду дозволяє знайти розподіл потенціалу. Загальним розв’язком цього рівняння є функція:

(9)

Що б знайти частковий розв’язок потрібно знайти граничні умови.

Якщо =0, то рівняння Пуассона переходить в рівняння Лапласа.

Досі ми розглядали електричне поле в однорідному середовищі.

Розглянемо, я веде себе поле на границі поділу двох однорідних середовищ і сформулюємо граничні умови для параметрів

коли:

Нехай електричне поле в першому середовищі характеризуються векторами поля і, між якими є зв´язок:

(1)

А в другому векторами та:

(2)

Якщо на границі між діелектриками є поверхневий заряд з поверхневою густиною заряду, то справедливі наступні граничні умови:

- на межі поділу двох діелектриків нормальна складова електричної індукції змінюється стрибком,

величина якого дорівнює поверхневій густині заряду.

(3)

(4)

(5)

Якщо поверхнева густина заряду дорівнює нулю, то

, або (6)

- на межі поділу двох діелектриків тангенціальна складова напруженості електричного поля неперервна:

(7)

(8)

Якщо розділити (8) на (6) то:

;

;

(9)

(9) - закон заломлення силових ліній електричного поля на межі двох діелектриків.

Формула (9) справджується і для межі поділу "діелектрик-провідник"

Використовуючи (9) запишемо:

(10)

, очевидно, що =0, тобто, якщо силові лінії направлені вдовж лінії поділу металів, то вони виходять під кутом 0 градусів.

Параметри поля в діелектрику направлені нормально до поверхні провідника.

Другими словами поверхня провідника є лінією рівного електричного потенціалу.

Потенціал на поверхні провідника не росте.

Дата добавления: 2014-01-07