Рівняння мас у диференціальній формі Нормана

Рівняння мас у алгебраїчній формі придатні для визначення пошукуваних елементів суден як при наявності, так і при відсутності близького судна-прототипу. Використання рівнянь мас у диференціальній формі можливе тільки при наявності близького прототипу, до елементів якого вносяться виправлення, які враховують різницю техніко-експлуатаційних характеристик прототипу та проекту: по вантажопідйомності, швидкості руху, довжині кругового рейсу, вимірників мас тощо.

З диференціальних рівнянь мас найбільше застосування мають рівняння Нормана та Бубнова. Розглянемо рівняння Нормана.

За допомогою диференціального рівняння мас Нормана можна визначити приріст водотоннажності dD судна-прототипу, викликаний зміною техніко-експлуатаційних показників його порівняно з проектом.

Загальний вигляд рівняння мас у диференціальній формі такий

.

Приріст водотоннажності є функцією величин, які входять у рівняння мас: dD = f (dP _в, dν, dL …).

Рівняння мас Нормана отримують диференціюванням вихідного рівняння мас у алгебраїчній формі, написаного відповідно до навантаження судна-прототипу, в якому всі маси виражені у функції водотоннажності. У цьому рівнянні є змінні складові F і постійні (задані) Р.

D = F + P,

де F = ∑ P_i = f (D, ν, L, a, q,…).

Постійні маси Р = Р _в + Р _б, а іноді і Р _еу.

Запишемо це рівняння у вигляді P = D – F (D, ν, R _S, a, q,…), і продиференцюємо його

,

і подамо в більш загальному вигляді

, (2.4)

де [ dF ]₀ – повний диференціал функції F (тобто усіх змінних мас по усім незалежним змінним а _к, q _об, ν, L,…, окрім D).

З рівняння 2.4 можна записати, що пошукуваний приріст водотоннажності буде

. (2.5)

Позначимо через , тоді dD = h_н { dP + [ dF ]₀}.

Останній вираз являє собою диференціальне рівняння мас у формі Нормана, де

dD – пошукуваний приріст водотоннажності судна-прототипу, обумовлений зміною Р_і, а, b, с, тобто величинами dР_і, dа, db, dс, …, які є елементами завдання; dP – приріст умовно постійних мас, незалежних від водотоннажності, в першу чергу вантажопідйомності судна-прототипу; [ dF ]₀ – приріст усіх змінних мас, обумовлений зміною швидкості ν, дальності плавання R _S, вимірників мас і інших характеристик судна-прототипу.

З виразу для видно, що η_н > 1. При цьому величина η_н буде тим більшою, чим вища частка змінних мас у водотоннажності, тобто у суден з відносно важкими корпусами, у швидкісних суден з потужними СЕУ, та у суден з великою дальністю плавання.

Так для танкерів h_н = 1,2 – 1,7; для УСВ h_н = 1,5 – 1,8; для бойових кораблів h_н ³ 3.

Основним загальним наслідком використання диференціального рівняння мас Нормана є положення, згідно з яким приріст водотоннажності судна завжди перевищує прирости і статей, що входять у його навантаження. Це видно з виразу dD = h_н { dP + [ dF ]₀}.

Таким чином, за допомогою рівняння мас Нормана водотоннажність проекту знаходиться як

.

Приріст вантажів , що задаються, визначається як різниця між вантажопідйомністю проекту судна та прототипу, наприклад, .

Враховуючи, що , визначимо частковий приріст , двома способами: способом кінцевих різниць; за допомогою формул диференціювання.

Перший спосіб обчислення часткового приросту способом кінцевих різниць виражається формулами.

Частковий приріст водотоннажності [ dD ]₀ = [ dF ]₀ + dP, а повний приріст – dD = [ dD ]₀ h_н . У випадку, коли вантажопідйомність судна проекту і прототипу однакова, повний приріст водотоннажності визначається як dD = [ dF ]₀ h_н. Якщо у проекта і прототипа різниця тільки в вантажопідйомності, то приріст водотоннажності dD = dP _в h_н.

ІІ-й спосіб – обчислення часткового приросту за формулами диференціювання:

;

далі аналогічно для

;

;

.

Помножимо 2 останні члена рівняння на і , тоді

.

Аналогічно для обчислення приросту маси палива і забезпечення:

;

;

Після визначення часткових приростів розпишемо навантаження мас за розділами:

– у зальному вигляді , або

;

;

;

;

;

.

Сума вантажів повинна дорівнювати водотоннажності, яка обчислена як , тобто D = S P_i + P _в з точністю ±(1 – 2)% від D.

Для визначення коефіцієнта Нормана треба обчислити ще .

Запишемо вихідний вираз для F.

F = S P = P _к + P _об + P _еу + P _п + P _з + P _зв, або

;

Візьмемо з цього виразу часткову похідну по D.

Результати диференціювання приводяться до наступної зручної розрахункової форми:

Підставивши знайдений вираз для у формулу для h_н , отримаємо (враховуючи, що всі розрахунки виконані для судна-прототипу):

;

Отримані формули для визначення dP, [ dP_i ]₀ і дозволяють розрахувати приріст dD за формулою:

dD = h_н { dP + [ dF ]₀}, а водотоннажність як

.

Дата добавления: 2014-01-07