Многочлени Чебишева

- позначаються, . Задаються наступними рівностями: , , . (1) Використовуючи рекурентні формули (1), отримаємо: , .

Відмітимо, що коефіцієнт біля в многочлена дорівнює , всі многочлени з індексами - парні, з індексами - непарні.

Відомо, що ,

Позначимо .

Отримаємо: .(2)

Порівнюючи (1) і (2) бачимо, що функція задовольняє рекурентне співвідношення (1). Початкові умови: , . Таким чином:

(3). З даної рівності випливає, що при . (4)

Зауваження: нерівність (4) не буде справедливою при всіх . Якщо , то , а такого числа не завжди менше 1.

Рекурентне співвідношення (1) є різницевим рівнянням. Позначимо , тоді отримаємо характеристичне рівняння:

Якщо , то корені прості, а тому . Замість підставимо 1, отримаємо: або .

Тому . (5)

Зауваження: з нерівностей (4) випливає, що многочлени Чебишева набувають значення тоді, коли , , , , де .

Многочлен називають многочленом, який найменше відхиляється від нуля. Таке означення пояснюється наступною теоремою:

Теорема: Якщо з старшим коефіцієнтом рівним одиниці, то .

Теорема доводиться методом від супротивного.

Заміною змінної проміжок переводимо взаємно однозначно в проміжок . Тоді многочлен з старшим коефіцієнтом називається многочленом Чебишева на . Аналогічно як ми робили для , можна побудувати многочлен, який найменше відхиляється на .

§18 НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ В ЛІНІЙНОМУ НОРМОВАНОМУ ПРОСТОРІ. УМОВИ ІСНУВАННЯ ТА ЄДНОСТІ ЕЛЕМЕНТА НАЙКРАЩОГО НАБЛИЖЕННЯ.

Нехай - лінійний нормований простір, , -лінійно-незалежні елементи. Через позначимо лінійний підпростір узагальнених многочленів виду , де . Множина , де , обмежена знизу наприклад нулем. Тому існує - найкраще наближення. Виникає питання чи в множині існує елемент : . Якщо такий елемент існує, то його називають елементом найкращого наближення функції многочленами з множини .

Теорема 1: Для в множині існує елемент найкращого наближення, множина таких елементів опукла.

Зауваження: елемент найкращого наближення не обов’язково один. Наприклад, розглянемо простір векторів з нормою . Візьмемо точку і візьмемо одновимірний підпростір з базисними векторами . Очевидно, що при . Таким чином маєм нескінченну множину елементів найкращого наближення.

Теорема 2: Якщо простір строго – нормований, то елемент найкращого наближення єдиний.

Теорема 3: (характеристика елемента найкращого наближення) Якщо в множині існує елемент - елемент найкращого наближення для функції , то тоді для .

Теорема 4: Якщо : , то - елемент найкращого наближення.

Як побудувати елемент найкращого наближення в просторі з скалярним добутком?

Нехай , - лінійно-незалежні елементи. Комбінації утворюють лінійний простір. Якщо деякий елемент є елементом найкращого наближення для функції , то згідно з теоремою 3 різниця ортогональна до всіх елементів підпростору , в тому числі й до елементів , . Тобто (1) для . Оскільки елемент найкращого наближення існує, то система (1) має розв’язок. Користуючись теоремою 4 можна довести, що розв’язок системи (1) є елементом найкращого наближення функції . Методом від супротивного можна довести, що такий елемент єдиний. Таким чином в просторі з скалярним добутком відшукання елемента найкращого наближення виду зводиться до розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (1), яку зручніше записати у вигляді: , . (2)

§19 СЕРЕДНЬОКВАДРАТИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ.

N.1 НАБЛИЖЕННЯ АЛГЕБРАЇЧНИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ.

Візьмемо метричний простір функцій сумовних з квадратом, тобто функцій для яких виконується умова .

Для довільних функцій скалярний добуток задамо так: . Легко перевірити, що всі аксіоми скалярного добутку тут виконуються, якщо дві функції, які відрізняються на множині міри нуль вважати рівними.

Означення: Найкраще наближення в просторі називається найкращим середньоквадратичним наближенням або наближенням за методом найменших квадратів.

В якості лінійно-незалежної системи візьмемо функції: , елемент найкращого наближення будемо шукати в множині многочленів виду: . Виходячи з загальної теорії стверджуємо, що многочлен найкращого наближення існує, для його побудови потрібно знайти розв’язок системи (2) з попереднього параграфа, вважаючи, що , .

Таким чином маємо систему з рівнянь:

;

; (1)

.....................................................................

.

N. 2 ДИСКРЕТНЕ СЕРЕДНЬОКВАДРАТИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ.

Нехай функція задана своїми значеннями в точках . Зауважимо, що ввівши змінну ми згадану систему точок переведемо в точки . Тому . Скалярний добуток означимо так: . В якості лінійно-незалежної системи функцій візьмемо многочлен Чебишева дискретного аргументу: . Дані многочлени будуть ортогональними.

. Відповідно до загальної теорії для знаходження цього многочлена потрібно розв’язати систему: .

N.3 СЕРЕДНЬОКВАДРАТИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ.

Розглянемо простір функцій сумовних з квадратом на відрізку . Елемент найкращого наближення будемо шукати серед: - тригонометричний многочлен степеня . В якості лінійно-незалежної системи функцій беремо ортонормовану систему Розв’язавши систему (2) попереднього параграфа, отримаємо: , , . Тобто найкраще середньоквадратичне наближення будуть давати частинні суми ряду Фур’є функції

§21 НАЙКРАЩЕ РІВНОМІРНЕ НАБЛИЖЕННЯ. ТЕОРЕМА ЧЕБИШЕВА

Якщо норма в лінійному просторі визначена не через скалярний добуток, то пошук елемента найкращого наближення удосконалюється.

Нехай - множина многочленів степеня не вище . Нехай також функція неперервна на і візьмемо . Відхилення функції від множини означається рівністю , нижню межу величини називають найменшим відхиленням.

Критерій за яким визначають елемент найкращого наближення дає теорема.

Теорема Чебишева: нехай неперервна на . Для того щоб степеня не вище був многочлен найкращого наближення для функції необхідно і достатньо щоб на відрізку існувала хоча б одна система з -х точок в якій різниця задовольняла б наступні умови:

· Початково змінює знак

· Набуває найбільшого по модулю значення на .

Означення: система про яку їде мова називається чебишевським альтернантом.

Означення: точка називатимемо е-точкою.

Означення: якщо в е-точці виконується , то точку називають “+” точкою, а якщо , то “-” точкою.

Доведення

1. покажемо, що на існують – і + точки. Оскільки є функція неперервна на , то існують е-точки. Нехай наприклад не існує – точок, тоді існує (1). Позначимо , тобто , тому многочлен дає краще наближення ніж . Отримана суперечність “-”і “+” точки існують.

2. покажемо, що відрізок можна розбити на відрізок точками , так щоб кожен з отриманих відрізків містив лише “-“ або “+” точки. Нехай перша е-точка справа від а це “+” точка, тоді через позначимо самий правий нуль величини між точкою а та першою після неї “-” точкою. - самий правий нуль величини між точкою і першою після неї нуль точкою.

3. покажемо, що . Припустимо протилежне , тобто . На відрізку не має “-” точок на не має “+” точок..., тому існує число і таке, що (2)

де підберемо так щоб

має той самий знак що й

позначимо , якщо , якщо крім того враховується нерівність (2), то , аналогічно таким чином многочлен дає краще наближення ніж . Отримана суперечність доводить необхідність.

2. нехай многочлен такий, що для нього виконуються умови 1 і 2 теореми. Доведемо, що він є многочленом найкращого наближення. Припустимо протилежне. Нехай , тому в усіх точках : , тому в усіх точках різниця , має той самий знак, що і , тобто ця різниця змінює знак хоча б n+2 рази, тобто різниця , степінь якої , має не менше n+1 коренів, що суперечить основній теоремі алгебри. Отримана суперечність доводить теорему.

Теорема Чебишева: нехай на дійсній осі задано 2п періодична функція. Для того, щоб тригонометричний поліном порядку не вище n був многочленом найкращого наближення для .необхідно і достатньо щоб на існувала хоча б одна з 2n+2 точокв яких різниця задовольняє умову: .

Дата добавления: 2014-01-07