Побудова алгебраїчних многочленів найкращого наближення

Теорема Веєрштраса вказує що найкраще наближення існує, але не дає практичного способу побудови.

Ефективних способів точної побудови многочлена найкращого наближення до даної функції не існує. Тому розглянемо чисельні методи розв‘язку цієї задачі.

Зробимо деякі розрахунки які покажуть нам алгоритм побудови многочлена найкращого наближення.

І. Нехай на (а, b) задана неперервна f(x) і т утворюють Чебишевський альтернант.

Зайдемо вираз для: через значення функції в т згаданого альтернанту.

Нехай - многочлен найкращого наближення для , тоді:

(1)

де:

Розглянемо детермінант

(2)

Усі детермінанти додатні бо . Крім того

(3)

Рівність і просумуємо по

(4)

Розглянемо ліву частину (4), маємо що

(5)

Введемо позначення:

З (3) і останнього виразу (6) маємо:

(7)

ІІ. Нехай для довільної т. що

Покажемо, що:

1) (8)

де:

де: і визначається за (6) і (2).

2) Існує т (9)

3) т утворюють Чебишевський альтернанс а отже,:

(10)

де: - многочлен найкращого наближення

Позначимо многочлен який найкраще наближає в точках

- найкраще наближення в т

Нехай - Чебишевський альтернанс для , тоді:

тобто:

Якщо система точок є Чебишевський альтернанс то: , а так як згідно теореми про існування найкращого наближення і Т. Чебишева цей альтернанс завжди існує, то досягає верхньої межі на довільному з цих альтернантів.

Нехай - множина точок

Нехай і - многочлени найкращого наближення для і на множині відповідно.

Аналогічно і - найкраще наближення на і відповідно, тоді:

Оскільки , то:

Множина точок є альтернанс до а отже, має місце (10)

ІІІ. Алгоритм побудови многочлена найкращого наближення до

1) Беремо на систему точок:

2) Нехай , тоді

а) використовуючи (2), (6), (7), тоді

Знаючи знак детермінанта визначаємо знак різниці:

за (10)

б) (11)

де: , якщо

, якщо

в) Розв‘язуємо систему і знаходимо:

(12)

тобто знаходимо значення многочлена в т .

2) Знаходимо за інтерполяційними формулами в точці. Зайву точку можна використати для контролю бо інтерполяційний многочлен в цій точці повинен набувати наперед задане значення.

3) Якщо , то шукаємо всі можливі комбінації з по . Для кожної з них знаходимо: . Серед вибираємо найбільше знайдене значення і переходимо до пункту 2.

Зауваження: 1) Описаний алгоритм не є єдиний.

2) Можна довести що описаний процес рівномірно збігається до многочлена найкращого наближення.

3) Для збільшення точності потрібно збільшувати кількість точок поділу відрізка .

Дата добавления: 2014-01-07