Метод прогонки для рівняння теплопровідності

Розглянемо в області зведене рівняння теплопровідності:

(1)

З граничними умовами: (2)

Розглянемо в даній області прямокутну сітку:. В рівнянні (1) замінимо наступні співвідношення:

Тоді підставивши в (1) отримаємо:

Позначивши: , останню рівність запишемо:

З граничних умов (2):

Систему (3), (4) будемо розв‘язувати методом прогонки, а саме значення розв‘язку на кожному наступному рядку будемо шукати з співвідношення:

Підставивши (6) в (3), звівши подібні доданки і виразивши через все інше отримаємо:

Порівнявши з формулою (5) будемо мати:

(7)

При , з рівняння (3) і (5) будемо мати:

(8)

Врахувавши, що з рівнянь (8) отримаємо:

(9)

Формули (8) і (9) повинні бути еквівалентними, тому:

(10)

Маючи формули (7) і (10) виконуємо прогонку в прямому напрямку і шукаємо числа . Тоді застосувавши (4) і (5) за допомогою зворотного ходу шукаємо:

(11)

Зауваження: Можна довести, що розглянута схема є стійкою при довільному і похибка наближення рівня .

Дата добавления: 2014-01-07