Інтуїтивне означення множини

Лекція 1. Множини. Операції над множинами

Розділ I. Теорія множин

Поняття множини – одне з основних, якщо не основне, поняття математики. Воно не має точного визначення, і його слід віднести до аксіоматичних понять. Такими аксіоматичними поняттями, наприклад, в елементарній геометрії є поняття точка, пряма площина.

Часто приймається формулювання інтуїтивного поняття множини Георга Кантора, основоположника цієї теорії: «Довільне зібрання певних предметів нашої інтуїції чи інтелекту, які можна відрізнити один від одного і які уявляються як єдине ціле, називається множиною. Предмети, які входять до складу множини, називаються її елементами».

Суттєвим пунктом канторівського розуміння множини є те, що зібрання предметів розглядається як один предмет («уявляється як єдине ціле»). Основна увага тут переноситься з окремих предметів на зібрання предметів, що, в свою чергу, можна розглядати як предмети.

Що стосується «предметів нашої інтуїції чи інтелекту», то це формулювання дає значну свободу перш за все тим, що ніяк не обмежує природу предметів, які складають множину. Множина може складатися, наприклад, з людей, точок площини, простих чисел, зірок Всесвіту. Також це визначення дає можливість розглядати множини, елементи яких з певних причин точно визначити неможливо. У зв’язку з цим згадаємо, що елементи будь-якої нескінченної множини, навіть теоретично, неможливо зібрати в закінчену сукупність.

З’ясуємо зміст слів «які можна відрізнити один від одного» і «певні предмети». У першому випадку для будь-яких двох предметів, які розглядаються як елементи даної множини, повинна існувати можливість з’ясувати різні ці предмети чи однакові. У другому випадку, якщо задана деяка множина і який-небудь предмет, то можна визначити, являється чи ні цей предмет елементом даної множини. Звідси випливає, що всяка множина повністю визначається своїми елементами.

Альтернативним інтуїтивним визначенням множини є також твердження математиків, які працювали під псевдонімом Ніколо Бурбаки: «Множина утворюється з елементів, що мають певні властивості, знаходяться у певних відношеннях між собою чи з елементами інших множин» або ж «Логічно кажучи, майже всю сучасну математику можна вивести з єдиного джерела: теорії множин».

Прикладами множин є множина натуральних чисел, множина парних чисел, множина студентів у аудиторії, множина дерев у лісі.

Для позначення конкретних множин використовують великі літери A, S, X… Для позначення елементів множин загалом застосовують малі літери a, s, x… Для позначення того, що x є елементом множини S (тобто x належить S), будемо застосовувати запис x ÎS, а запис x ÏS означатиме, що елемент x не належить множині S. Символ Î називається символом належності.

Однозначно визначена множина S, елементами якої є предмети x₁, x₂,…, x_n, будемо позначати S = { x₁, x₂,…, x_n }. Зокрема, { x } – так звана одинична множина, - є одноелементна множина, єдиним елементом якої є x. Якщо множина S скінчена, то кількість елементів в множині позначається |S|. Наприклад, для S = { a, b, c } |S| = 3.

Порядок слідування елементів у множині не має значення. Наприклад, { a, b, c } та { c, a, b } – це одна й та сама множина.

Множини, як об’єкти, можуть бути елементами інших множин. Множину, елементами якої є множини, іноді називають сімейством. Як правило, визначення множин, які є сімействами, забезпечують індексами, щоби відрізняти їх одне від одної. Запис

S = {S_i}_iÎA

позначає, що S є сімейством, елементами якого є множини S_i, причому індекс i «пробігає» множину А.

Сукупність об’єктів, які не є множиною, називається класом.

Множина, яка складається з елементів деякої множини S так, що ці елементи можуть входити до складу цієї множини в якій завгодно кількості екземплярів, будемо називати мультимножиною множини S і позначати її M(S). З точки зору теорії множин, множина і її мультимножина – це один і той самий об’єкт, і вони можуть між собою не розрізнятися. Але часто, особливо коли мова заходить про представлення множини в пам’яті ЕОМ, виникає потреба відрізняти мультимножину від множини.

Дата добавления: 2014-01-07